《奇異攝動問題的一致收斂有限元方法研究》是謝萍麗為項目負責人，河南工業大學為依託單位的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：奇異攝動問題的一致收斂有限元方法研究
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：謝萍麗
- 依託單位：河南工業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
四階橢圓攝動問題主要源於拋物攝動問題的穩態形式，譬如Cahn-Hilliard型方程等，有限元方法是求解該類問題數值解的一種極其重要的方法。該問題當攝動參數很小的時候，退化為一個二階問題，這就要求構造的有限元方法既滿足四階問題的收斂性條件，又滿足二階問題的收斂性條件，因此構造新的有效的有限元方法是非常有意義的。另一方面目前大多數的研究都還局限在格線剖分滿足正則性條件或擬一致假設時，而這種限制嚴重約束著有限元方法的套用。對於奇異攝動問題, 其解可能在區域的邊界層或區域的拐角處呈現各向異性特徵，即解可能沿著某個特定方向變化非常劇烈,而其他方向的變化卻比較平緩。此時，一個非常自然的想法就是採用各向異性單元來反映這種各向異性特徵，即在變化平緩的方向上可以採用較大格線尺寸，此時可以減小計算量。另外，目前大多數的研究都是一維和二維問題，對三維問題的研究也將是非常有意義的。
結題摘要
四階橢圓攝動問題主要源於拋物攝動問題的穩態形式，譬如Cahn-Hilliard型方程，這類問題在力學、化學、生物等科學領域中都有非常重要的套用. 對於這類問題, 問題的解可能在區域的邊界層或區域的拐角處呈現各向異性特徵，即解可能沿著某個特定方向變化非常劇烈,而其他方向的變化卻比較平緩。如果利用常規的有限元方法，對格線剖分有限制，一般都要求滿足正則性條件或擬一致假設，此時會大大的增加計算量。因此，一個非常自然的想法就是採用各向異性單元來反映這種各向異性特徵，即在該方向上用較小的格線尺寸，這樣可以在保證精確度的基礎上減小計算量。本項目主要致力於對四階奇異攝動問題的各向異性非協調有限元方法的研究，從而豐富該問題的數值解法, 拓寬非協調有限元的研究範圍，並為求解這類問題提供理論依據和算法。我們通過套用一些新的技巧給出各向異性格線下兩個修正的Morley型非C0非協調矩形元逼近四階板彎曲問題時的收斂性分析. 我們通過一個反例來說明一個修正的Morley型單元套用到四階奇異攝動問題時，如果利用標準的有限元離散格式，它和Morley元一樣，當ε→0時是不收斂的。同時，在一個新的有限元離散格式下，利用Poincare不等式，對兩個修正的矩形Morley元，得到了插值誤差估計的一個顯式表達式；並利用單元的構造以及線性運算元的引入，得到了和正則剖分下完全相同的最優相容誤差收斂階，並給出算例加以驗證。利用新的技巧驗證了求解四階板彎曲問題的Morley元的各向異性特徵。
