奇異攝動理論及其在動力系統中的套用

《奇異攝動理論及其在動力系統中的套用》是依託江蘇師範大學，由杜增吉擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：奇異攝動理論及其在動力系統中的套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：杜增吉
• 依託單位：江蘇師範大學

項目摘要

奇異攝動理論和方法在許多學科的眾多研究領域中占有重要地位，它與流體力學、量子力學、生物化學中帶小參數的微分方程緊密聯繫。近年來運用奇異攝動理論研究動力系統和奇異攝動微分系統是奇異攝動問題研究的主流方向。.本課題主要研究下列兩類問題：1、利用幾何奇異攝動理論，通過降低原來系統的維數，得到多個時間尺度的子系統，分別研究這些簡化系統的動力學性質，通過拼合它們的軌道進而研究原來高維複雜動力系統的動力學性質。2、研究非線性微分方程奇異攝動系統問題，討論比較方程的特徵值問題，進而給出奇異攝動系統問題一致有效的漸近解，並試圖將中心流形理論運用到測度鏈上動力系統的研究。.本課題的研究對於奇異攝動理論和常微分方程與動力系統，都具有重要的意義。

結題摘要

課題組全面完成任務書中各項任務，在科學出版社出版《奇異攝動中的微分不等式理論》專著1部，發表科研論文31篇，被SCI檢索26篇，新獲省部級項目3項。負責人杜增吉先後入選江蘇省“333高層次人才培養工程”中青年科學技術帶頭人、江蘇省“青藍工程”中青年學術帶頭人等培養對象，獲得江蘇省教學成果獎1項；培養碩士研究生17人，3篇論文被評為江蘇省和江蘇師範大學優秀碩士學位論文；項目主要成員到美國高校進行為期三個月的訪問學習；成功組織舉辦“2011年全國奇異攝動理論和套用研討會”。本課題主要研究四類問題：1、運用奇異攝動理論、非線性分析理論研究二階非線性微分方程奇異攝動問題、奇異攝動分數階Logistic方程的初值問題、具有兩個轉向點的大參數奇異攝動方程、非線性奇異攝動系統等，得到攝動解的存在性、唯一性以及漸近解。2、運用奇異攝動理論和方法研究厄爾尼諾南方濤動時滯海-氣振子模型漸近解，給出了耦合振子模型行波解的漸近解法，通過數值模擬說明漸近解具有很好的精確度；運用漸近方法研究非線性擾動發展方程的近似解，利用不動點定理指出近似級數的收斂性，並進行數值模擬。3、研究生物種群模型。以經典生態模型Lotka-Volterra種群模型為基礎，進一步考慮時滯，相互干擾，功能函式，反饋控制等作用，運用幾何奇異攝動理論，重合度理論，構造恰當Lyapunov 泛函方法證明了生態種群的持續生存，正周期解的存在性,唯一性與全局漸進穩定性；給出了多種群競爭捕食系統和具有Beddington-DeAngelis型功能反應的捕食種群動力系統的持久性、概周期解的存在性、唯一性以及全局漸近穩定性的充分條件，並通過數值模擬驗證結論，獲得新的研究成果。4、研究非線性微分方程共振邊值問題，提出了一種同構方法，去掉以前文獻中的一個很強的條件，運用Mawhin迭合度理論得到了三階和高階微分方程共振邊值問題解的存在性。