幾類奇異攝動系統的分支問題研究

《幾類奇異攝動系統的分支問題研究》是依託福建師範大學，由沈建和擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：幾類奇異攝動系統的分支問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：沈建和
• 依託單位：福建師範大學

項目摘要

基於幾何奇異攝動理論與動力系統分支方法，本項目針對幾類重要的奇異攝動系統，開展如下三個方面的分支問題研究：.1. 以慢變散度積分作為工具，結合奇異性理論的一些已知結果，研究以多層鴨環為極限周期集的奇異攝動多項式Liénard系統的極限環分支問題，獲得(鴨型)極限環最大個數的上下界；.2. 基於周期變換與平均法，通過引入適當的Jacobian橢圓函式作為基本函式來顯式地表示周期流形，研究高維奇異攝動近Hamiltonian系統的周期解分支問題及其在若干帶慢變參數及高次勢能函式的非線性振動模型中的套用，獲得系統周期解的存在性、穩定性及分支等；.3. 基於奇異攝動幾何理論，結合Poincaré映射與Melnikov積分，通過引入適當的雙曲函式作為基本函式來顯式地表示同異宿流形，研究幾類三維奇異攝動近Hamiltonian系統的同異宿分支問題，獲得脈衝同異宿軌道的存在性與個數。

結題摘要

轉向點問題是奇攝動系統局部失去雙曲性的動力學問題。轉向點的存在導致了許多新的分支行為，是近年來奇攝動動力系統研究的熱點問題之一。 本項目關注若干帶有轉向點的非線性奇攝動動力系統的分支問題，主要研究由於轉向點的存在而導致的鬆弛振動、鴨解、鴨極限環（含有頭鴨和無頭鴨）以及脈衝同異宿軌道的存在性等問題。具體而言，本項目開展如下幾個方面的研究：（1）利用幾何奇攝動理論、慢散度積分、漸近分析以及匹配等技巧，研究了若干奇攝動經典、廣義Liénard系統的鬆弛振動、鴨極限環、最大鴨的存在性及其可能出現的最大個數問題；同時，將這些理論成果套用至含FitzHugh-Nagumo模型在內的若干生物數學模型，獲得了這些生物模型鬆弛振動、鴨極限環等的存在性及其對應的參數條件；（2）基於奇攝動理論中的快慢分解與匹配等技巧，研究了帶有慢變參數的一階非線性系統，分析了該系統流的快慢動力學性質，構造了流的一直有效近似並給出了誤差估計；同時，將相關的理論成果套用至帶慢變參數的Logistic模型，分析了慢變參數的存在所導致的新的動力學性質。（3）基於幾何奇攝動理論，結合Meilnikov方法與橫截性理論，研究了帶有慢擴散的耦合超臨界Ginzburg-Landau方程波前解的存在性以及異宿鞍結分支現象和某些FitzHugh-Nagumo方程脈衝同異宿軌道的存在性問題。（4）通過構造具有一定動力學性質的上下解函式，研究了帶有轉向點的奇攝動二階半線性Dirichlet邊值問題和一類二階擬線性Robin邊值問題鴨解的存在性問題；同時還構造了上述問題解的解析漸近近似，這方面的結果改進了Howes關於非雙曲奇攝動邊值問題的研究。 通過本項目的研究，項目組深入認識到奇異攝動的真正含義以及奇異攝動下系統可能出現的更為奇異的行為，其中很多行為是正則攝動下無法產生的。很多現實的情形，例如帶有慢變參數、慢擴散耦合等因素，都可以導致奇攝動常、偏微分系統的產生，從而導致解的行為產生多尺度時空效應與複雜模式，其解的分支行為的更為複雜、更加有趣。