《奇異攝動新理論及其在生態和傳染病方面的套用》是依託西安交通大學，由馬知恩擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：奇異攝動新理論及其在生態和傳染病方面的套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：馬知恩
- 依託單位：西安交通大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
奇異攝動理論研究具有不同時間尺度的變數之間的相互關係，它經歷了非標準分析、漸進分析和幾何奇異攝動理論等發展階段。1996年F. Dumotier和R. Roussarie利用Blow-up技巧，中心流形定理和動力系統的方法，發展了原有理論，給出計算張弛周期解和判斷其重數的公式等一系列新的理論和方法，並把上述新理論套用於高維系統和多方面的實際問題。在生物、生態和疾病等數學模型中，當變數的時間尺度不同時，其數學描述體現為奇異攝動，套用上述理論和方法可對相關模型進行更深入的研究。目前國內尚未見到相關的文章發表。如何套用這一新理論到實際模型，如何進一步發展這一新理論使它更加完善，並更好地套用到上述實際問題，是本項目擬研究的課題。
結題摘要
對奇異攝動理論的研究已有很長的歷史，但對奇異攝動產生周期解的個數這個核心問題，即使是二維系統，都曾缺乏精確研究的工具。最近10幾年來，F. Dumortier, R. Roussarie 和 P. Maesschalck 三人填補了這方面的一個空白，他們發表了一系列深刻的研究成果，在奇異攝動理論方面做出的重要貢獻，已被國際同行廣泛認可。其中他們發現了研究奇異攝動下產生周期解個數問題的一個重要工具，稱為Slow divergence integral。在對他們的工作進行深入研究的基礎上，我們對Slow divergence integral 給出了便於套用的新公式，並用它成功地研究了一系列生物和醫學中提出的數學模型，包括對具有Holling型功能性反應函式的捕食-被捕食系統在奇異攝動下的周期解個數的研究，和具有非線性發病率的SIS傳染病模型的研究等等。對於所研究的數學模型，我們在參數空間中給出精確的分區，指出各個區域中相應系統軌線的拓撲分類，特別是確定了周期解的個數和重數。其它重要結果還有：（1）把著名的Poincaré–Pontryagin定理從二維系統推廣到三維系統，並用它證明了一類三維Lotka-Volterra系統在擾動下在一個二維不變流形上極限環的存在與唯一性。（2）對某些離散SIS模型定義和研究其基本再生數，研究其無病平衡點的全局穩定性，研究系統的各種分支現象和動力學行為，並對一些情況做了數值模擬。（3）證明了一類流行病模型可出現余維三B-T分支，並且這種分支的最大余維數為三。（4）討論了一類具有垂直傳播和非單調發病率的延遲SEIR流行病模型。（5）研究了在人體內造成細胞間感染的t-嗜淋巴細胞病毒的數學模型，證明了其動力學性態完全由基本在生數R_0的幅度所控制。(6) 研究了具有冪零奇點和分區醫院資源的SIR模型的動力學行為。(7)對公共衛生資源有限條件下登革熱的傳播和控制進行建模和研究。
