《高維奇異攝動問題的集中現象》是依託深圳大學，由楊軍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：高維奇異攝動問題的集中現象
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：楊軍
- 依託單位：深圳大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Gierer-Meinhardt模型近年來一直是非線性分析領域的研究熱點, 其濃縮解現象近期引起數學工作者的研究興趣. 本項目將主要是用'無限維Lyapunov-Schmidt約化方法'研究穩態Gierer-Meinhardt模型以及由其導出的奇異攝動問題（包括Schr?dinger方程）的高維濃縮解. 具體來說，研究高維濃縮解的構造方法、高維濃縮解與邊界的相互作用、高維濃縮解簇內部的相互作用原理, 以及尋求從奇異攝動問題濃縮解的性質來研究穩態Gierer-Meinhardt模型. 本項目所提出的方法能推廣到一類更廣泛的反應擴散系統, 對濃縮解以及超導中的N-vortices lines, Allen-Cahn 模型的 clustered phase transition layers 這些具有類似性質的非線性現象獲得更深刻的認識.
結題摘要
最近30年來，濃縮(concentration)現象和相變(phase transition)現象是非線性分析領域的研究熱點. 特別是Allen-Cahn模型描述的相變現象以及相關的著名De Giorgi猜想在最近10年受到數學家的廣泛關注, 獲得重要的進展. 在自然科學中, 非線性現象往往發生在複雜的流形上, 因此在高維黎曼流形上構造濃縮現象和相變現象將更為自然, 更能引起一些套用科學家的關注. 本項目主要是用非線性橢圓型偏微分方程的技術和方法來研究自然科學領域中的非線性現象：濃縮(concentration)現象, 相變(phase transition)現象以及vortex現象，涉及奇異攝動問題，(非均勻)Allen-Cahn模型，Gross-Pitaevskii方程，Shrödinger map equation等. 主要結果涵蓋：為解決1998年W. Ni教授在Notice AMS提出的關於奇異攝動集中解的猜想提供部分結果；部分解決2003年A. Ambrosetti, A. Malchodi, W. Ni在Comm. Math. Phys. 上提出的關於一個非均勻奇異攝動問題(inhomogeneous Schrödinger equation) concentration現象的一個猜想(通常稱為Ambrosetti-Malchodi-Ni猜想)；解決法國Amandine Aftalion教授在2006出版的專著《Vortices in Bose-Einstein Condensates》中提出的關於Bose-Einstein凝聚現象的邊界層(Painleve Boundary Layer)的一個公開問題. 在今後研究中, 將利用本項目積累的研究經驗和方法, 積極研究具有深刻物理背景和幾何背景的非線性問題. 尋求構造Gross-Pitaevskii方程具有複雜拓撲結構的vortex現象(比如說vortex helices，skyrmions)的數學方法; 也把這些研究工作中的方法和技術推廣到相應的一些半線性的發展方程上, 比如說，研究heat flow of harmonic map等非線性幾何流的爆破(blow up)現象.
