分數量子力學中波動系統的奇異攝動和噪聲影響

《分數量子力學中波動系統的奇異攝動和噪聲影響》是依託四川師範大學，由陳光淦擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：分數量子力學中波動系統的奇異攝動和噪聲影響
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：陳光淦
• 依託單位：四川師範大學

項目摘要

分數量子力學是洞察微觀物質結構、相互作用和運動規律的最新知識和學科，是當前和將來最具吸引力的數學物理研究領域之一。本項目研究分數量子力學中的波動系統: 一類是非相對論分數量子力學中的分數隨機Schrödinger方程，一類是相對論分數量子力學中的分數隨機波方程。旨在分析和量化系統中由多尺度引起的奇異攝動以及由噪聲引起的隨機影響。首先建立系統的局部適定性。將運用分數擬能量方法和隨機分析解決系統在奇異攝動下和噪聲影響下系統的一致有界和胎緊，探究系統的整體存在性。擬用交換運算元處理由分數Laplace運算元帶來的奇異積分，分析系統在有限時間內的爆破性質。進而運用隨機動力系統理論並結合多尺度理論，分析系統的不變流型、不變頁理等不變性質，解析其幾何結構和特徵。最後分析奇異攝動和噪聲影響下系統的極限動力學行為、有效近似刻畫和定量分析。最終導出系統的巨觀性態、獲取系統的最終表征以及有效動力學行為。

結題摘要

對於非相對論分數量子力學中的分數隨機Schrödinger方程（Ginzburg-Landau系統、Hartree方程）和相對論分數量子力學中的分數隨機波方程進行了研究。針對分數階Laplace運算元和噪聲對系統的影響進行了探索，分析了其特徵。探討摸索如何解決它們帶來的困難。通過構造適當加權函式空間和某些分數階運算元技巧，我們克服了有界區域上分數階Laplace運算元帶來的困難。運用胎緊來代替通常的緊性並結合到Prokhorov定理和Skorokhod定理，我們解決了噪聲帶來的收斂性問題。研究了系統解的適定性包括某些情形下全局存在，某些情形下爆破。獲得了分界門檻條件和穩定性。證明了其鞅解的存在性、不變測度的存在性、穩態解的存在性及其精細刻畫。特別研究了系統在奇異攝動和噪聲干擾下的不變性質。考慮了退化噪聲情形下系統的轉移機率運算元半群的不變測度的存在性和唯一性。討論了刻畫其幾何結構的不變流形的存在性、有限維約化和Wong-Zakai近似。項目的執行和完成使得對分數量子力學中物質系統的認識、模擬和控制更清晰和準確，對微觀物質世界和物理現象的理解、把握和詮釋更全面和深入。在項目執行過程中，我們已發表研究論文29篇，其中13篇被SCI收錄。同時，培養研究生16名。