《量身定做的有限點方法與奇異攝動問題》是依託清華大學，由韓厚德擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：量身定做的有限點方法與奇異攝動問題
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：韓厚德
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在科學和工程領域中，我們經常遇到帶有小參數的微分方程定解問題，特別是高階微商項帶小參數的微分方程定解問題尤其吸引人們的注意，它廣泛地出現在科學技術的各個領域裡，例如，對流占優的熱傳導問題，高雷諾數不可壓粘性流體的流動等。這類高階微商項帶小參數的微分方程定解問題通常被稱為奇異攝動問題。奇異攝動問題的解通常帶有邊界層或者內層，即解在這些狹小的空間附近變化十分劇烈。奇異攝動問題解的這些特性給它的數值求解帶來了本質性的困難，通常要求格線的尺寸遠遠小於小參數，才能得到滿意的數值近似解。為了提高計算效率、減少計算量，人們提出了各種格線加密的方法。我們將在這個項目中用一種新的思路求解奇異攝動問題的數值解，即量身定做的有限點方法。我們在構造問題的離散格式時充分了解問題的性質，並將問題解的特點在離散格式中體現出來。我們期望設計一種對小參數一致收斂的計算方法，並能在粗格線上得到高精度近似解。
結題摘要
本項目按照申請書規定的任務和要求，經過三年的努力圓滿地完成了研究計畫。取得的主要成果有三項： 1. 對於二階橢圓型方程的奇異攝動問題構造出了有效的量身定做的有限點格式（ Tailored Finite Point Scheme ）。在每個不同的格線點上根據問題解的性質選取不同的基函式對問題進行離散化。我們得到了十分有效的計算格式，在粗格線上 （ 格線尺度 h 遠遠 小參數 ）, 數值結果仍然能捕捉到問題解的邊界層。進一步我們得到了數值解的誤差分析，在粗格線上給出了數值解的誤差估計。 2. 本項目研究了一類四階橢圓型方程奇異攝動問題的數值解。構造出了求解四階橢圓型方程奇異攝動問題的一類量身定做的有限點格式（ Tailored Finite Point Scheme ）。在粗格線上能夠很好地捕捉到問題解的邊界層，數值計算表明當小參數很小，時數值近似解有二階收斂精度。在此基礎上我們構造了一種疊代算法，每一步及僅需要分別求解兩個二階問題。特別當小參數很小時疊代方法的收斂十分快。進一步對於一種規則的區域我們給出疊代方法收斂性的證明。 3. 發展了多尺度量身定做的有限點方法 （ Multicale Tailored Finite Point Method ），成 功地將其套用求解一類多尺度二階橢圓型問題。 另外在無界區域上非線性偏微分方程的數值解，不適定問題的數值解等研究方向上獲得了進一步的研究成果。專著 “ Artificial Boundary Method ” 由 Tsinghua University Press and Springer 出版（ 作者 Houde Han & Xiaonan Wu， 2012 國內版， 2013 國際版）。共發表（和被接受）SCI 學數論文 9 篇。畢業博士生兩名。
