界面問題浸入有限元方法及其理論分析

《界面問題浸入有限元方法及其理論分析》是依託山東師範大學，由陳煥貞擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：界面問題浸入有限元方法及其理論分析
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：陳煥貞
• 依託單位：山東師範大學

項目摘要

界面問題刻畫了諸如由複雜地質結構或多相流導致的具有間斷擴散係數的混溶驅替等實際滲流過程，建立其準確高效的數值模擬方法與完善的數值分析理論體系，對深刻揭示實際滲流的運動機理、指導科學工程實踐具有重要的理論價值與套用前景。本項目旨在對具有張量擴散係數（各向異性滲流）的二階橢圓界面問題，通過強加界面跳躍條件至界面單元空間，構造對界面具有良好辨識能力與逼近性質的Lagrange型與Crouzeix-Raviart型有限元空間，據此，建立沿界面單元邊界懲罰的界面浸入有限元方法與相應的最優階誤差估計理論，並推廣至具非齊次界面跳躍條件的二階橢圓界面問題。對具純量擴散係數（各向同性滲流）的橢圓界面問題有限元誤差分析中存在的問題進行改進與修正，彌補當前研究成果的缺失，完善各向同性滲流問題界面浸入有限元方法的收斂性理論體系。進一步，對具有隨時間變動界面的二階拋物型界面問題設計恰當的界面浸入有限元數值模擬格式。

結題摘要

自項目實施以來，我們根據工作計畫，積極開展工作，查閱文獻資料，並借鑑國內外相關的研究結果，對刻畫了諸如由複雜地質結構或多相流導致的具有間斷擴散係數的混溶驅替等實際滲流過程的界面問題提出了浸入有限元方法並進行了一系列理論分析。 針對各向異性二階橢圓界面問題通過強加界面跳躍條件至界面單元空間，構造對界面具有良好辨識能力與逼近性質的 Lagrange 型與 Crouzeix-Raviart 型有限元空間，據此，建立沿界面單元邊界懲罰的界面浸入有限元方法與相應的最優階誤差估計理論；對非齊次界面跳躍條件的二階橢圓界面問題通過水平集技術和選擇一個特殊的數值通量來吸收界面的跳躍條件，化非齊次界面跳躍條件問題為類似的齊次界面跳躍條件問題，從而對齊次界面跳躍條件界面問題提出了部分懲罰SIPG，NIPG與IIPG界面浸入有限元數值模擬技術，證明了格式解的適定性和依賴於真解分片H2-範數的最優階能量模與L2模誤差估計。 針對經典的二階橢圓界面滲流問題的極限情況-分數階滲流擴散問題，藉助於混合元的思想對一類變係數分數階擴散方程建立了混合形式的有限元離散格式，並證明了其是定向性；我們還藉助於鞍點理論證明了2-β（0＜β＜1）階擴散方程解的存在唯一性，據此提出了保持單元守恆的擴展混合元離散格式，證明了格式收斂性估計。此外我們還研究了一類控制受限的時間分數階最優控制問題的數值模擬以及對刻畫石油工業中含烴流真實狀態的具有Peng-Robinson狀態方程的擴散界面模型，基於不變能量二次型（Invariant Energy Quadratization） 和懲罰格式，對解決單組份兩相流提出了有效的一階、兩階時間步進格式(time stepping scheme)。