《雜交有限元法的自適應理論與快速算法》是依託四川大學，由謝小平擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：雜交有限元法的自適應理論與快速算法
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：謝小平
- 依託單位：四川大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目旨在系統深入地研究具有廣泛工程套用背景的雜交有限元方法的自適應理論及快速算法，為科學與工程計算提供高效、可靠的數值算法和科學計算軟體。研究內容主要有： 針對固體力學與結構力學分析中的雜交應力/應變有限元法，系統建立相應的後驗誤差理論；系統研究雜交有限元法基於後驗誤差的自適應算法的相關理論與算法實現；系統研究雜交有限元離散方程組求解的預處理技術，構造和分析相應的快速算法。
結題摘要
大規模科學與工程計算要求高效率的數值方法，以實現在現有計算資源條件下，以儘可能小的計算代價獲得較高的數值精度。作為科學與工程計算領域的核心問題之一，偏微分方程高效有限元方法的設計與實現，長期以來一直為計算數學和工程力學界熱點關注。 本項目旨在系統深入地研究具有廣泛工程套用背景的雜交有限元方法的相關理論及其套用，建立相應的後驗誤差理論，基於後驗誤差估計子研究相應的自適應有限元理論，構造和分析相應有限元離散方程組求解的預處理技術及快速算法。 項目在如下幾個方面取得一些重要成果：（1）對平面彈性問題的四節點雜交應力四邊形有限元，分析了其超收斂性，並基於超收斂結果給出了重構型的後驗誤差估計子；（2）提出了新型的5至7節點過渡型雜交應力四邊形元，提出了四邊形格線加密／放粗算法以及基於過渡型雜交應力有限元的自適應算法；（3）對於已有的兩種混合剪下投影三角形和四邊形Reissner－Mindlin板雜交有限元法，建立了穩定性和收斂性理論；（4）提出了求解隨機平面線彈性問題的雜交應力四邊形有限元法，建立了相應的誤差分析理論；（5）提出了平面彈性振動問題的半離散和全離散雜交應力有限元法，給出了穩定性和收斂性結果；（6）針對二維和三維二階橢圓方程，提出和分析了一族新的雜交化間斷Galerkin（HDG）有限元方法；（7）對二維和三維多孔介質流模型的多點流量混合有限元法提出了一種殘差型後驗誤差估計子，證明了其可靠性和有效性；（8）對二維和三維線彈性方程，提出並分析了一類具有對稱應力逼近的新型弱Galerkin（WG）有限元法；（9） 對Stokes方程，提出並分析了一類新型的保持速度無散特性的WG有限元法；（10） 對二維和三維變係數對流-擴散-反應方程，給出了兩類混合有限元方法的殘差型後驗誤差估計子，證明了其可靠性和有效性；（11） 針對對流-擴散-反應方程的中心混合有限元方法，提出並分析了一種基於殘量型後驗誤差估計子的自適應算法；（12） 將BPX多水平預處理技術推廣到求解二維和三維擴散方程的一大類非標準有限元法，包括雜交化的RT 和BDM混合元，HDG方法、WG方法、非協調CR元等，證明了BPX預處理子的最優性。（13）對二維和三維擴散方程的HDG和WG有限元方法，以統一的方式，提出並分析了了相應的兩水平快速算法。
