《非線性Maxwell方程的自適應有限元方法研究及套用》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由鄭偉英擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性Maxwell方程的自適應有限元方法研究及套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：鄭偉英
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非線性電磁學在電氣工程和光學領域的套用非常廣泛，但並行自適應有限元方法在該領域的研究工作還很少，缺少成熟的數值分析理論和適合大規模數值模擬的並行自適應算法和程式。另外，三維Maxwell方程的hp-自適應有限元方法是很困難的課題，目前沒有見到hp型後驗誤差估計的可靠性和有效性數學理論，也缺少基於非結構四面體格線的hp-自適應算法和並行程式。本項目擬以工程變壓器為目標，研究非線性Maxwell方程的自適應有限元方法和時諧Maxwell方程的hp-自適應有限元方法。通過對非線性渦流問題的數學建模、適定性理論、有限元後驗誤差估計、自適應有限元算法和並行程式實現等課題的深入研究，形成三維非線性電磁場計算的高效自適應有限元算法和並行程式，利用國產高性能計算機，對工程變壓器設計和積體電路參數提取中的渦流問題,進行大規模數值模擬，以期獲得和實驗數據高度吻合的數值結果。
結題摘要
本項目以工程變壓器和大規模積體電路中的電磁場問題為主要目標，研究時諧Maxwell方程的hp-自適應有限元方法、非線形時變Maxwell方程的適定性理論、並行自適應有限元方法和程式實現。本項目的主要成果如下：（1）提出了新的渦流數學模型，將系統大尺度和小尺度之比減小了1000倍，從而可以直接模擬矽鋼片結構的三維渦流分布，並且避免了傳統均勻化方法在導體邊界層內的模型誤差。（2）建立了非線性電磁渦流問題新模型解的適定性，並且證明新數學模型的解收斂於原問題的解。（3）基於高階有限元離散，我們提出了新數學模型的並行自適應有限元方法，並基於軟體平台PHG編寫了並行計算程式。利用並行機群LSSC3進行上億未知數規模的數值模擬，獲得了與實驗數據高度吻合的數值結果。（4）提出了變壓器模擬的簡化H-ψ公式，證明了非線性渦流問題弱解的存在唯一性，去掉了矽鋼片外敷的微米厚絕緣漆膜，將系統大尺度和小尺度之比減小了1000倍，並證明了精確解和近似解之間的最優誤差估計，獲得了與實驗數據高度吻合的數值結果。（5）針對大型變壓器的矽鋼片結構，我們證明了三維非線性時變Maxwell方程組的均勻化模型，將系統大小尺度之比從減小了6個數量級，並證明當矽鋼片厚度趨於零時，小尺度解強收斂於均勻化Maxwell方程的解。（6）基於四面體格線，提出了時諧Maxwell方程的hp-自適應有限元方法，證明了後驗誤差估計的可靠有效性等數學理論。基於後驗誤差估計和PHG平台，研製了Maxwell方程的hp-自適應有限元並行程式，並利用多個奇性算例和工程變壓器的Benchmark問題，驗證了算法的有效性。（7）對電容參數提取問題，設計了一套線性可擴展的並行有限元計算框架，研製了並行軟體工具包ParAFEMCap,對具有2232 根導線和22464個通孔的記憶體電路進行了數值模擬，並行效率達到75%。（8）提出了一種新的各向異性完美匹配層方法，對於各向異性的散射體具有更大的適應性，且具有更好的穩定性。（9）粗糙界面反散射問題是近場光學中主要關心的問題之一，我們針對具有雙周期結構的衍射光柵問題，提出了一種傅立葉變換和漸進分析相結合的方法，獲得了數據和界面的一個顯式表現關係，可以實現穩定的並且具有亞波長超解析度的界面重構。
