《非均勻介質內傳輸問題及其特徵值問題的數值方法研究》是依託復旦大學，由吳新明擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非均勻介質內傳輸問題及其特徵值問題的數值方法研究
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：吳新明
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非均勻介質內傳輸問題及其特徵值問題是地質勘探、雷達成像、無損探傷等眾多領域的一個重要研究課題，近幾年吸引了國內外很多專家學者的研究興趣，成為科學工程計算中新的研究熱點。本項目的研究具有重要的理論價值和廣泛的套用前景。目前關於該問題的研究工作主要還停留在理論層面，數值方法方面的結果並不多，特別是高效實用的數值方法亟待進一步研究。本項目主要擬針對Helmholtz方程和Maxwell方程內傳輸問題研究高效的數值離散格式，推導離散方法的先驗和後驗誤差估計，利用邊界條件耦合設計新的區域疊代算法；針對Helmholtz方程和Maxwell方程傳輸特徵值問題，探索等價的耦合變分問題，構造穩定的非線性疊代方法，並進行收斂性等相關理論分析；進而對聲波和電磁逆散射問題設計更為高效的數值方法，並進行相關的大規模數值模擬。
結題摘要
本項目主要針對非均勻介質內傳輸問題及其特徵值問題等相關的微分方程邊值問題和特徵值問題，展開廣泛而深入的研究，取得很好的研究成果。(1) 針對內傳輸特徵值問題，給出了相應特徵值以及特徵函式的有限元離散誤差估計。設計了相應的多尺度算法，證明了該方法利用較少的計算同樣達到了理想的計算精度。(2) 針對更加複雜的非線性特徵值問題，我們提出了保球約束的可行梯度方法以及正則化牛頓方法，這兩類方法在數值計算上都體現了其快速、穩定的優勢。(3) 針對解的支集分布不集中的情形，研究了對應的完全匹配層方法以及自適應算法。(4) 針對內傳輸特徵值問題的有限元離散，通過研究其後驗誤差估計，設計了相應的自適應算法。此外，我們還結合我們的教學編寫了本科生教材《微分方程數值解》。
