間斷Galerkin方法在透射特徵值問題中的分析、計算和套用

《間斷Galerkin方法在透射特徵值問題中的分析、計算和套用》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由季霞擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：間斷Galerkin方法在透射特徵值問題中的分析、計算和套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：季霞
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

透射特徵值問題在電磁場散射和反散射問題中扮演著非常重要的角色。散射場可以用來確定可穿透物體的形狀，是各向異性材料里反問題唯一性的一個重要工具。雖然該問題的提法很簡潔，但它既非橢圓又非自伴，不涵蓋在經典偏微分方程的理論中，因此對它的研究在理論上、套用上都很有意義。申請者將研究間斷Galerkin方法（DG）在透射特徵值問題中的分析、計算和套用，主要集中在雙調和方程特徵值問題、Helmholtz方程（2D）和Maxwell方程組（3D）透射特徵值問題以及相關的反問題上。申請者會給出適當的格式，證明算法的譜正確性和收斂性，開發並完成並行程式軟體包。

結題摘要

我們主要研究透射特徵值問題的數值算法及相關理論和套用。該問題來源於反散射問題，不僅是研究遠場運算元的工具，還可以用來設計反散射技巧及探測散射體內的空洞。數值計算的主要難點在於非自伴和非線性。 我們首先採用混合元方法，對得到的離散系統設計了疊代法高效求解。我們還考慮了各向異性材料的透射特徵值問題，設計了一種多重格線方法，把粗格線的解作為細格線的初始值，加速收斂。我們把多重校正方法推廣到透射特徵值問題，細格線上的特徵值問題等價成粗格線的特徵值問題與一系列格線上的解問題，在減小計算量的基礎上，得到與細格線直接求解相當的精度。我們把透射特徵值問題原始的四階非自伴形式改寫成疊代的四階自伴問題進行求解, 採用C^0 IPG作為數值方法,這是一種適用於四階問題的間斷有限元方法，我們給出了源問題的適定性，特徵值問題的譜正確性以及最優收斂，數值結果驗證了理論的正確性。透射特徵值問題本身的形式也給我們啟示：是否能找到入射波，不會感知散射體的存在，使得散射場幾乎為零。這種波有一定的套用背景，比如醫學裡面的無影燈。我們在透射特徵值問題的基礎上，利用Helmholtz方程的性質，以及反問題的一些技巧，設計了無散射的入射波，形成一種特定情況下的隱形，還給出了相關的理論證明。