代數曲線基本理論數值化及套用

《代數曲線基本理論數值化及套用》是依託大連理工大學,由羅鐘鉉擔任醒目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：代數曲線基本理論數值化及套用
• 依託單位：大連理工大學
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：羅鐘鉉

項目摘要

代數曲線在數學與套用數學的各個分支以及諸多工程領域中具有重要的套用，從計算角度討論代數曲線是近年的一個研究熱點。本項目區別於傳統基於符號計算的代數曲線研究方法，擬從數值計算角度出發，利用同倫連續方法求解多項式方程組所具有的全局收斂性及高效魯棒性等優勢，在普通的16位雙精度運算下，數值化計算一些代數幾何基本量（如交點、奇異點、虧格等），並對小擾動下代數曲線基本量進行誤差估計和相關性質的分析；並在此基礎上對代數曲線一些經典結論（如Bezout定理、Noether定理、Cayley-Bacharach定理、Pascal型定理等）的條件進行判斷，尋找有效的、方便實用的數值化方法；進一步利用所獲得的數值算法開展圖像不變性特徵理論及套用研究中一些幾何不變數（如本團隊發現的新的代數曲線不變數-特徵比、特徵數）的具體計算；同時開展同倫連續方法的並行化研究，以適應某些高度複雜的實際套用問題。

結題摘要

經典數學理論的數值化實現和套用近些年受到越來越多的關注，本項目以代數曲線經典理論數值化實現為目標，區別於傳統的符號計算，通過引入同倫連續方法開展研究，取得了一系列突破性結果，主要研究成果包括：將求解多項式方程組的同倫連續方法與標準機器精度下計算不精確單變數多項式重根的某類方法套用到代數曲線基本理論的數值化研究中，數值計算代數曲線的一些基本量（如交點、拐點、奇異點及重數等）,並對代數曲線一些經典理論（如Max Nother剩餘交定理條件）進行數值化實現；通過建立對偶範數與最近多項式間的聯繫，構造性地給出了最近多項式的顯式表達式計算方法；利用逼近型細分和插值型細分二者的聯繫，給出了由逼近型細分推導新細分格式的一個顯式公式，該顯式公式適用範圍廣；將有理Bézier曲線推廣到高維球面上，獲得一種新的球面曲線，即廣義有理Bézier曲線，並將其套用到剛體旋轉運動設計中；提出了任意維射影空間中的一族新的射影不變數——特徵數，並通過特徵數揭示了代數超曲面與閉迴路直線集相交的內蘊性質，推導出了包含Morgan-Scott型剖分在內的一類剖分上一種樣條函式空間奇異的代數條件，並由此根據特徵數的性質導出相應的幾何條件，進一步套用特徵數這一新的射影不變數，給出了兩個用於形狀匹配的形狀描述子，並將該描述子套用到圖形匹配和識別中；針對非協調有限元的相關問題，利用一種新的立方體上的二次非協調有限元——MSLK元構造求解三維Stokes方程的穩定格式，該格式穩定且有最優的誤差估計，同時構造了任意凸四邊形格線上新的非協調有限元，證明對於二階和三階情形，其用於二階橢圓問題具有最優收斂性；獲得具有一定代數精度的二維或更高維求積公式的構造公式，以及給定節點的具有一定三角精度的一維求積公式的構造性算法。項目執行期間發表相關學術論文二十餘篇，培養研究生畢業二十餘人，承辦及協辦會議多次，每年參加學術交流活動不少於5人次，順利完成項目預期研究成果。