《有限元的各向異性後驗誤差估計及其套用》是依託鄭州大學，由陳紹春擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：有限元的各向異性後驗誤差估計及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：陳紹春
- 依託單位：鄭州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
自適應有限元研究計算格線如何自動適應問題真解的性態，使之在同等收斂性前提下大大減少計算規模，而後驗誤差估計是自適應有限元的理論基礎。後驗誤差估計與通常的先驗誤差估計不同，是一個可計算的量，能提供格線應如何局部加密或放疏的信息，使格線得到最佳化。但經典後驗誤差估計基於格線的正則性條件，即單元直徑與含於其內的最大球直徑的比一致有界，這一基礎性條件限制了自適應方法的有效發揮，因為很多情況下，如二維沿一條線有奇性或三維沿一個面有奇性的問題，在奇性區域，格線只需沿一定方向加密，並不需要沿所有方向加密。正是基於這一點，本項目研究各向異性後驗誤差估計，研究後驗誤差估計如何放寬以至拋棄對格線正則性條件的依賴，使後驗誤差估計子能套用於各向異性格線，不僅能給出應在什麼區域加密或放疏的信息，還能給出應沿什麼方向加密或放疏的信息，以致最大限度地發揮自適應有限元方法的優越性。
結題摘要
後驗誤差估計中出現很多常數，這些常數一般是不知道的，這對後驗誤差尤其是各向異性後驗誤差的精細估計形成了障礙，我們給出著名的Wilson元的逼近誤差和相容誤差常數的顯式估計；給出有限元逆不等式中常數的顯式估計，這些估計與格線正則性條件無關，可以用於並改善各向異性後驗誤差估計。 我們將1維Lagrange插值的Newton表達方式推廣到高維，以統一的方式給出2維（三角形和矩形）和3維（4面體和長方體）任意階Lagrange元的各向異性插值誤差估計。它可以用到有限元的各向異性後驗誤差估計。 我們基於邊界平衡通量，利用拉式乘子，對線形三角形元構造了一個後驗誤差估計子，可以局部計算，且不需要求解局部Neumann問題，改進了前人的結果。 有限元的各向異性後驗誤差估計的一個重要方面是使得格線能更好的自適應解的性態。有人提出一種匹配函式，來檢驗格線對解的性態的適應性，但此種匹配函式是整體區域上的，且對非協調元效果不好，我們對此進行了改進，提出一種新的匹配函式，改進了已有的那種匹配函式，展示了各向異性後驗誤差估計新的途徑。 單元構造方面：我們對線彈性混合問題構造一個矩形元，使原有一個單元的自由度由36+3簡化為17+4。三維四階橢圓問題非協調元的構造非常困難，我們另闢新徑，利用泡函式使得此問題的單元構造變得簡單，構造了1階和2階收斂的四面體元、長方體元、三稜柱元。Darcy-Stokes問題含有一個小參數，是奇異攝動問題，對小參數一致收斂的混合元很難構造，尤其是矩形元，已知的單元幾乎沒有，我們構造了一個對小參數一致收斂的矩形元。原始變數彈性問題當Lame常數趨於無窮時，一般的單元不收斂，這就是Locking現象。純位移邊界條件時，已有的3維單元不多，我們構造了一個一致收斂的4面體元和一個一致收斂的長方體元。純應力邊界條件時，由於要滿足離散第二Korn不等式，單元構造更加困難，我們構造了一個三角形元，它滿足離散第二Korn不等式，且具有二階收斂速度。
