《Maxwell 方程組自適應 PML 高階棱元離散系統的快速算法》是依託華南師範大學，由鐘柳強擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Maxwell 方程組自適應 PML 高階棱元離散系統的快速算法
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：鐘柳強
- 依託單位：華南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
針對電磁場方程組自適應完全匹配層法的高階棱有限元離散系統, 深入研究其快速疊代算法和高效預條件子, 並建立相關理論。本課題所涉及的模型問題具有很強的實際套用背景。自適應完全匹配層法能夠很好地求解無界區域上的電磁場散射問題, 對其離散系統快速算法的研究是計算電磁場領域中的熱點和難點。與已有工作相比, 我們將面臨許多困難點，如模型問題的非正定性對算法的影響, 高階棱元帶來的計算複雜性，算法效率對完全匹配層方程中各向異性係數的強依賴性等等。解決上述困難，需要發展新的算法和理論分析工具。為此，我們已作了比較充分的準備工作。本課題的研究是一項既富有挑戰性，又具有重要理論意義和實際套用價值的研究工作，其研究成果將對現有的無界區域上電磁場散射問題的數值模擬起到積極的作用。
結題摘要
按照項目原定研究計畫，針對電磁場自適應完全匹配層法有限元離散系統的快速算法，圍繞項目的原定研究內容開展工作，取得了若干理論和算法研究成果。在電磁場快速求解算法方面，針對不定時諧電磁場問題高階棱元離散系統，設計了一種兩水平加性的預條件子，並證明將上述預條件子套用於廣義最小殘量法時所得到預條件系統是一致收斂; 針對電磁場特徵值問題，設計了兩格線算法，新算法把一個細格線下的電磁場特徵值問題轉化為同格線下的線性不定電磁場問題和粗格線下的原特徵值問題，相應誤差估計表明新算法的漸近最優收斂性; 針對電磁場方程組的完全匹配層方程棱有限元離散系統，將其實部和虛部分開，使其轉化為一個實的具有某些特殊結構的鞍點系統，通過對相應 Schur 補的分析，對上述鞍點系統構造了一個對稱正定的塊對角預條件子。在自適應有限法方面，針對平面彈性問題，考慮了一種不需要標記振盪項和加密單元、不需要滿足“內節點”性質的自適應有限元方法，證明該方法的收斂性，並針對相應的離散代數系統設計了一種基於局部鬆弛的多層格線法，數值實驗表明該方法的魯棒性; 此外，本課題還針對時諧電磁場方程組給出了一種交錯間斷Galerkin法的後驗誤差估計子，理論證明該後驗誤差估計子的可靠性和有效性，數值實驗也通過一大類測試問題來表明該方法的漸近準確性; 針對一類非對稱不定橢圓方程和一類適度非線性二階橢圓偏微分方程的內罰間斷有限元方法，給出相關最優誤差估計, 並對其離散代數系統設計和分析了兩格線法; 最後針對 Cahn-Hilliard 方程的混合有限元離散代數系統提出了兩格線法，且該兩格線法可通過結合局部格線加密以達到改進算法效率的目的，數值算例表明與已有的求解算法相比, 該方法在保持相同收斂階的同時, 所花時間更少。本課題組在 SIAM J. Numer. Anal.、M2AN Math. Model. Numer. Anal.、 Appl. Math. Comput.、Comput. Math. Appl. 和中國科學數學等國內外刊物上發表學術論文 9 篇，其中被 SCI 收錄 9 篇，1 人獲得博士學位，2人獲得碩士學位，完成了項目的研究任務，並在部分相關研究內容上做了適當的延伸。
