《非線性Kohn-Sham方程可靠性高精度數值方法的研究》是依託北京大學，由胡俊擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性Kohn-Sham方程可靠性高精度數值方法的研究
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：胡俊
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Kohn-Sham方程是描述物質微觀結構特別是物質電子結構的重要模型，其特徵函式具有局部的奇異性（高振盪性）。對於這一問題，目前大多數計算方法的計算複雜度相對於體系粒子數都是2次甚至3次的標度，因而很難處理大的體系。本項目將充分利用非標準有限元方法的靈活性，研究將先驗知識有機的嵌入到離散空間中，構造整體自由度少但精度高的新型有限元方法；研究非線性Kohn-Sham方程特徵值的下界逼近，再通過重構的方法計算特徵值的上界，這樣得到近似特徵值一個後驗估計，而且可以評估近似解的可靠性（因為同時知道上界和下界）；設計能將問題的特性和先驗知識嵌入到格線剖分和加密過程中的特徵值問題新型自適應有限元方法；將上述離散方法有機結合，提出非線性特徵值問題新型自適應非標準有限元方法並分析其收斂性和最優複雜性。總體研究目標是在非線性Kohn-Sham方程的可靠性高精度數值方法及其理論方面取得突破。
結題摘要
提出並證明了非協調元產生特徵值漸近下界的一個充分條件，和獲得了2m階橢圓偏微分方程特徵值的確切下界，其中m不大於空間維數；基於非協調元的離散特徵函式，利用投影平均插值運算元和Rayleigh商，提出了一種簡單的後處理方法，獲得特徵值的漸近上界；將漸近下界和上界相結合，提出一種計算特徵值的高精度算法；構造了整體自由度少但精度高的有限元方法。建立了一個設計和分析線彈性力學問題混合有限元方法的新框架，構造出以多項式為形函式、應力嚴格對稱、有最優收斂性、容易實現的混合有限元，並給出嚴格的數學分析。這解決了長期懸而未決、具有挑戰性、異常困難的問題，即線彈性力學問題混合有限元方法的構造。因此項成果，中國計算數學學會將“首屆青年創新獎” 授予項目負責人，以表彰他“在彈性力學方程組混合有限元方法所作出的奠基性貢獻。”該成果獲得D. N. Arnold 教授等國際學者的肯定。發展了一個和經典對偶論證不同的技巧，證明了四階橢圓邊值問題低階有限元解的 誤差和Galerkin投影的誤差之和最多只有二階收斂性，從而解決了四階問題低階有限元的 誤差理論問題。 首次證明了橢圓障礙問題（當障礙為線性函式時）線性元自適應方法的最優收斂性。在任意維空間張量積格線上，構造了任意階橢圓邊值問題最低階協調有限元方法；在二維四邊形格線上，構造了二階橢圓邊值問題任意階非協調元。發表論文26篇，其中Numerische Mathematik 3篇， SIAM J Nume Anal 2篇， Math Comp 1篇，其他雜誌20篇。課題組獲得國際國內學術會議邀請報告40餘個，組織學術會議和暑期活動等學術活動16個，其中北京大學海外名家講座 2個。邀請了包括美國明尼蘇達大學Douglas N. Arnold教授和義大利帕維亞高等研究院Franco Brezzi教授在內的40餘名國際國內知名學者到北京大學交流訪問。項目負責人晉升為教授，並被授予中國計算數學學會“首屆青年創新獎”，且獲得國家傑出青年基金項目(2016年)。2人獲得博士學位，1人獲得碩士學位，2人獲得國家獎，1人獲得校長獎。
