《無窮Laplace方程解的邊界正則性》是依託西安交通大學，由洪廣浩擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：無窮Laplace方程解的邊界正則性
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：洪廣浩
- 依託單位：西安交通大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目研究齊次和非齊次無窮Laplace方程的粘性解的邊界正則性問題。無窮Laplace方程是一個高度退化並且高度非線性的二階橢圓方程。它是最優Lipschitz延拓變分問題的Euler-Lagrange方程，也可以看做是p-Laplace方程當p趨於無窮時的極限方程，並且與機率論中的拔河比賽問題相關。該方程在圖像處理和最優輸運問題中也有重要套用。近幾年無窮Laplace方程正逐漸成為橢圓與拋物方程領域的一個研究熱點，其中邊界正則性方面的研究剛剛開展。本項目擬研究無窮Laplace方程邊界正則性方面的三個問題：（1）非齊次方程在可微邊界條件下解的邊界逐點可微性；（2）一階連續可微邊界條件下解的邊界連續可微性；（3）凸區域和Reifenberg平坦區域上局部零邊值問題的解的邊界可微性。旨在探索解的邊界逐點可微性與連續可微性成立的最佳邊界條件。
結題摘要
本項目研究齊次和非齊次無窮Laplace方程的粘性解的邊界正則性問題。具體來講我們考慮如下三個問題。 （i）非齊次方程在可微邊界條件下解的邊界可微性。 （ii）一階連續可微邊界條件下，解的邊界連續可微性。 （iii）凸區域和Reifenberg平坦區域上, 局部零邊值問題的解的邊界可微性。 我們得到的主要研究結果如下。 （i）我們證明了在可微邊界條件下非齊次無窮Laplace方程的粘性解在邊界是可微的。 （ii）我們構造了一個反例表明在連續可微的區域上無窮調和函式在邊界不一定是連續可微的，即使在2維且邊值函式光滑。這負面地回答了Wang-Yu文章中的一個問題。 （iii）我們研究了無窮調和函式在凸區域角點的斜率和可微性成立的條件。我們證明了函式的斜率不超過邊值函式的梯度的模。我們證明了當邊值函式的梯度方向或負梯度方向指向區域內部時，函式在這個邊界角點是可微的；當邊值函式的梯度方向和負梯度方向都不指向區域內部時，函式在這個邊界角點是可微的若且唯若函式的斜率等於邊值函式的梯度的模。
