關於流體力學邊界層中的一些問題

《關於流體力學邊界層中的一些問題》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由張立群擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：關於流體力學邊界層中的一些問題
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：張立群
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

流體力學方程給數學研究提出許多重要的問題，邊界層問題的理論研究越來越引起人們的關注。我們將研究不可壓流體力學邊界層問題中Prandtl方程組解的存在性、唯一性及穩定性方面的問題。這涉及到從數學理論上證明物理模型中提出的邊界層方程的合理性並給出其適用的範圍。具體地講，我們對於二維Prandtl方程組，初始值在單調類時，研究粘性消失時解的適定性問題，即在半空間上，當粘性趨於零時，研究Navier-Stokes方程解到Euler方程的解在邊界層存在時的極限問題，這裡需要克服極限過程中不同尺度的相互作用所帶來的困難；在初始值渦度變號時，研究不可壓流體力學邊界層問題中Prandtl方程組解的局部存在性問題，通過尋找一些合適的判別準則，給出邊界層方程解存在的條件，這裡需要克服方程退化所造成解的先驗估計的困難。 這些問題的研究將有助於人們對邊界層問題在理論上進一步的理解，並對工程套用提供一些重要套用。

結題摘要

我們的項目主要圍繞著與流體力學方程相關的問題開展工作， 首先對於線性拋物方程及對應的橢圓方程解的性質做進一步的研究，關心的問題是某些解集合的分類問題，這裡有著名的 Landis-Oleinik猜想，它是描述某一時刻解具有一定的衰減性時是否就是恆為零解，這是關於解的某種剛性問題，它的研究對於理解一般發展方程的解的正則性及唯一性具有重要的意義；另一方面我們研究了具有某種連續性的不可壓流體力學方程的弱解的存在性，這一問題與從數學上理解湍流密切相關，近年來這種解的構造，對於不可壓Euler方程已是國際上一個熱門的研究問題，這類解是利用局部快速震盪的解疊加而構造出來的，解是HOLDER連續的並具有某種能量耗散的性質，這些解的特殊結構與某些湍流現象接近，是非常有意義的問題，我們在已有的不可壓Euler方程結果的基礎上，研究了帶有溫度場之後的相關問題，構造出具有類似性質的解，並從數學上顯示出這類系統能量從熱能到動能的轉化，同時我們也證明了這類弱解的某種不唯一性。我們通過建立一般的表示定理和新的局部震盪解的構造，推廣了有關的不可壓歐拉方程的結果，構造了具有某種耗散性質的弱解，這種弱解可以滿足預訂的能量曲線，可以顯示能量從溫度向速度場的轉化；同時也可以構造具有緊支集的連續弱解。