《橢圓與拋物方程解的邊界正則性對區域邊界的依賴性》是依託西安交通大學，由李東升擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：橢圓與拋物方程解的邊界正則性對區域邊界的依賴性
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李東升
- 依託單位：西安交通大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目將研究橢圓與拋物方程解在區域邊界的正則性對區域邊界幾何性質的依賴性。項目的研究內容主要有三個方面:(1)Neumann邊界問題、高階方程以及方程組的Wiener判別準則；(2)在邊界具有分形維數的區域上，橢圓與拋物方程（組）解在邊界的W^{1,p}估計；(3)廣義凸區域上橢圓與拋物方程解在邊界的可微性。這三個方面的關鍵問題分別是:(1)何種邊界幾何性質使得解或解的導數連續到邊界；(2)使得W^{1,p}估計成立所需區域邊界幾何性質的本質條件是什麽；(3) 何種邊界幾何性質是使得解在邊界可微所需區域邊界幾何性質的充分必要條件。項目的研究目標為：不僅要解決上述問題，而且要系統地給出相應的理論並提出和發展一套新的研究正則性的方法。這些理論和方法將在自由邊界問題、反問題、滲流問題以及工程中的幾何設計和最優控制等方面有著廣泛的套用。我們已取得的研究成果為本項目的研究打下了一個堅實的基礎。
結題摘要
本項目研究了橢圓與拋物方程的邊界正則性理論，較為圓滿地完成了項目申請時所制定的研究計畫，主要解決了以下四個方面的問題：1、針對橢圓方程解在邊界的可微性，引入 “gamma-凸區域”的幾何概念，證明了“gamma-凸區域”上橢圓方程的解在邊界是可微的。這一結果具有兩方面的最優性：（1）“gamma-凸區域”上方程解在邊界的最佳正則性為可微；（2）保證解在邊界的可微性的區域一定是“gamma-凸區域”。2、給出了一類四階橢圓型方程組解的W^{2,p}估計，在這裡，橢圓方程組的係數在穿過一個Reifenberg型拓撲曲面時具有間斷性。3、證明了Stokes方程解的HessianL^p內估計。對於內估計而言，這是最佳的結果，即解對時間導數的L^p內估計一般不成立。4、推廣了Caffarelli關於完全非線性橢圓方程解的W^{2,p}估計。給出固定係數方程所需的正則性條件和逼近條件之間的關係，Caffarelli的結果是這一關係的特例。在本項目的支持下，目前共發表學術論文12篇（均被SCI檢索）。項目各項經費使用基本符合項目申請時所制定的經費預算。
