《關於無窮維動力系統解的長時間行為的研究》是依託華中科技大學，由楊美華擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：關於無窮維動力系統解的長時間行為的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：楊美華
- 依託單位：華中科技大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目將在深入研究無窮維動力系統全局吸引子的存在性的同時，進一步探索動力系統全局吸引子的分析和幾何性質。主要研究帶有較複雜非線性項的非線性發展方程的全局吸引子的存在性問題；把所得的和最新的研究方法和研究成果推廣套用到具有重要物理意義的數學物理方程中（包括定常系統和隨機耗散系統，如大氣與海洋動力學方程組、隨機耗散波方程等），建立對這些方程解的長時間行為的進一步的數學刻畫和解釋；再將這些從具體問題得出的感性認識反饋到理論研究中。從吸引子的正則性著手，研究全局吸引子的分類、平衡點附近流的性態，以及吸引子的正則逼近和邊界擾動問題。這些問題是無窮維動力系統研究的主要問題和活躍問題之一，一直吸引並激勵著人們去發展新的分析技巧，對他們的任何研究進展都將帶動無窮維動力系統吸引子研究的各個相關方面的發展。
結題摘要
本項目一切按計畫進行，進展順利，取得了一系列較為重要的理論和套用性成果。本項目截止目前共發表論文6 篇，另有一篇接收待發表。 取得主要成果如下： (1) 關於吸引子存在性方面，主要考慮了運用傳統方法很難奏效的一大類具體的非線性發展方程的吸引子的存在性問題。重點研究了部分不能正則化的無窮維耗散動力系統（確定、非自治）所對應的非連續半群（過程族）的全局吸引子（一致吸引子、拉回吸引子）的存在性，針對關於吸引子存在的關鍵性條件--漸近緊性或w－極限緊性的驗證，給出了漸近先驗估計方法，突破了原有研究吸引子存在性的理論框架。作為套用，與蘭州大學楊璐副教授合作，重點考察了動態邊界系統（它是一個有著豐富物理背景和實際意義的問題，如，現實中有很多動力系統都是通過邊界來控制系統），所得結果大大改進已有的相關結果。其相關結果發表在NONLINEAR ANAL-RWA、DCDS-B上。 (2) 關於吸引子的分析和幾何拓撲性質。從吸引子的正則性著手，結合橢圓方程理論，主要研究了吸引子的正則性與穩態解的關係和邊界條件對吸引子的影響。到目前為止，據我們所知，人們判定吸引子的可能的正則性都是從相應的穩態（橢圓）方程出發，從而外力項的正則性在很大程度上就限制了吸引子的正則性。在研究中，我們提出了將原來的發展方程分解為一個非線性橢圓方程和一個新的發展方程，從而達到“去掉”外力項對解的正則性的影響這一目的。套用這個想法，不僅可以得到解的更好的先驗估計（從而很容易就得到吸引子的存在性），而且在某中程度上這個結果預示著發展方程與穩態方程的進一步聯繫。相關結果發表在NONLINEAR ANAL-TMA上。 （3）將我們所建立的理論方法套用到數學生物模型中。與德國法蘭克福大學Peter Kloeden教授合作，研究了帶有自由邊界的非自治種群模型的解的漸近行為，這個模型是由 Kim & Lin 2009年提出的。證明了該系統的拉回吸引子的存在性。這個結果在理論以及套用上都是非常有意義的。相關結果發表在Revista Matemática Complutense上。 （4）隨機耗散動力系統解的長時間行為研究。與美國伊利諾理工學院段金橋教授以及Peter Kloeden教授等國內外同行展開了密切的合作，將定常系統的研究理論和最新的研究成果推廣至隨機耗散動力系統。相關結果發表在NONLINEAR ANAL-RWA上。
