非自治無窮維動力系統指數吸引子的研究

《非自治無窮維動力系統指數吸引子的研究》是依託中國礦業大學，由嚴興傑擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：非自治無窮維動力系統指數吸引子的研究
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：嚴興傑
• 依託單位：中國礦業大學

項目摘要

本項目主要以非線性泛函分析與偏微分方程的理論為基礎，研究耗散非自治無窮維動力系統解的長時間行為。眾所周知，研究耗散非自治無窮維動力系統的一個熱點問題：證明帶有臨界時滯項、臨界非線性項波方程指數吸引子的存在性、穩定性、正則性及維數估計。此類方程有三種情形:(a)內部帶有臨界非線性項(b)內部帶有臨界時滯項、臨界非線性項(c)內部帶有臨界非線性項，邊界條件帶有臨界時滯項(局部或者全局)。前兩種情形已基本得到解決，但是第三種情形未見有結果，主要困難是邊界條件的臨界時滯項不能直接控制方程的能量耗散，其特點與前兩種情形截然不同，需結合偏微分方程的理論提出新的處理方法，建立關於指數吸引子存在的新結果，從而提出估計指數吸引子維數的新辦法。之後考慮指數吸引子的正則性。這些研究將進一步改進和完善耗散非自治無窮維動力系統的基本理論，並且為某些實際問題的解決提供新的思路、方法和重要的理論依據。

結題摘要

本項目主要以非線性泛函分析與偏微分方程的理論為基礎，研究耗散非自治無窮維動力系統解的長時間行為。我們主要研究內部帶有臨界非線性項，邊界條件帶有臨界時滯項(局部或者全局)的波方程。這種類型的方程，主要困難是邊界條件的臨界時滯項不能直接控制方程的能量耗散，不能採用以往的方法證明指數吸引子的存在性。首先我們證明了時滯項的一階導數有界，方程非線性項臨界的情形下指數吸引子的存在性，方法主要是把區域分為兩個部分：方程在區域1上邊界的時滯項能直接控制方程的能量耗散，把時滯項不能控制能量耗散的方程放在區域2上，區域2的測度為零，我們不但得到弱空間中指數吸引子的存在性，而且得到強空間中指數吸引子的存在性，此部分結果已經以論文的形式投稿。但是出現更深入的問題，若方程的時滯項的一階導數有界的限制條件去掉，直接滿足臨界條件，運用上述方法得不出指數吸引子的存在性，我們初步的想法是把方程圍繞不動點進行分解，但需要更進一步的研究。在上述的研究過程中，我們發現用我們的方法可以解決反應擴散方程在強空間中指數吸引子的存在性。而反應擴散方程在非線性項超臨界指數增長的條件下，在強空間中指數吸引子的存在性一直是一個開問題，我們成功的解決了方程的非線性項滿足超臨界指數增長，反應擴散方程在強空間中指數吸引子的存在性，這部分結果已近得到，以論文的形式投稿中。