《流體力學方程的適定性及其相關問題》是依託江蘇大學，由張平正擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：流體力學方程的適定性及其相關問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張平正
- 依託單位：江蘇大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究流體力學中一些偏微分方程的適定性及其相關問題。基於項目組成員已有的工作(Invent.Math.,Comm.Math.Phys.,Arch.Rat.Mech.Anal.等)，(1) 我們找出Benjamin-Ono方程的解映射在能量空間弱拓撲下的連續指標並給出指標最佳的證明，由此探索負指數Sobolev空間中解的存在性和解對初值的連續依賴性；(2) 利用色散性質、剛性定理等證明四階Ostrovsky方程孤立波的漸近穩定性；（3）利用變分方法和曲率流的分析技巧證明兩維Ostrovsky方程多峰孤立波的存在性和一定意義下的唯一性； (4)用構造近似解的方法證明具物理真空一維可壓Euler方程組的解映射在任意階的Sobolev空間中不連續但在適當加權Sobolev空間中連續，從解映射的角度對退化和非退化方程的區別加深理解。退化方程解映射連續性目前只有很少的工作，本項目力求有一點突破。
結題摘要
我們考慮流體力學的幾個方程，對以下幾方面作了研究： (1). 考慮b-族方程在時間[0, 1]上的解映射，定義域是Sobolev空間指標s大於3/2的有界集，賦予Sobolev空間指標r間於0和s之間的弱拓撲，值域是Sobolev空間指標r，我們得到這種解映射的Holder連續性。這說明b-族方程初值問題的低頻部分改變了波速，在今後的研究中有望對相關方程有進一步了解。 (2). 考慮2-分組Camassa-Holm系統在時間區間[0, 1]上的解映射，假設A是指標分別為s和r兩個Sobolev空間的乘積，s大於等於1且r非負。考慮A的有界集到A的映射。我們得到這種解映射是非一致連續的。這使我們對非一致連續機制有了進一步的認識，在今後的研究中有望對CH方程和2-分組CH 系統的區別有進一步了解。 (3). 考慮Keldysh方程在直角坐標系和極坐標系下的特解。我們得到Keldysh的特解和已知的Tricomi方程的特解有本質區別，且Keldysh 運算元比Tricomi運算元在退化線上退化性的強。 當以流體速率為應變數，流函式和勢函式為自變數時混合定常氣流化成Keldysh型方程。Keldysh的特解對理解音速線為直線，管壁在音速線附近充分平直時的光滑跨音速流有重要作用。 (4). 得到Tricomi運算元極點在橢圓區域基本解的解析表達式，以及當極點趨於退化線時基本解的極限行為； 對Chaplygin方程解的存在性進行研究。利用Tricomi方程的基本解等已知知識我們對Chaplygin方程混合邊值問題解的存在性的有了進展。
