《可壓縮流體及相關方程組中的真空自由界面問題》是依託清華大學，由羅濤擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：可壓縮流體及相關方程組中的真空自由界面問題
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：羅濤
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在此項目中，我們將研究可壓縮流體力學`和廣義相對論流體偏微分方程組的流體和真空的自由界面問題。其主要目的是為高維退化雙曲型，退化雙曲-拋物型，退化雙曲-橢圓型方程組的自由邊值問題發展一些新的分析和幾何方法以實現以下目的：1、刻畫真空邊界的物理奇性，2、闡明熱傳導，引力，磁場等對真空自由邊值問題的適定性和解的定性行為的影響， 3、建立廣義相對論流體偏微分方程組真空自由邊值問題的球對稱解的適定性理論。.流體自由邊值問題來源於許多物理，醫學及工程學中的模型，例如，星體的形狀，多相流，反應流，生物醫學中的細胞形變等。關於流體自由邊值問題的研究一直是極具挑戰和熱門的課題。在本項目中發展的分析和幾何方法將會在物理，化學，生物，工程中的相關問題的研究起作用， 並高維退化雙曲型，退化雙曲-拋物型，退化雙曲-橢圓型方程組的自由邊值問題的一般理論有所貢獻。
結題摘要
出現在許多重要的物理情形的流體力學方程自由邊界問題一直是非線性偏微分方程理論和實際套用中極具挑戰性的重要課題，對於不可壓縮及不含真空的可壓縮 Euler方程自由邊值問題，其適定性理論近十多年取得突破性進展。而對於可壓流體真空自由界面問題，由於方程在真空態附近的高度退化，問題的適定性研究十分困難， 嚴格數學理論結果甚少。對於具有重要理論和實際意義的物理真空自由界面問題，局部適定性問題在2009-2015年間才獲得較為滿意地解決。而這些局部存在性結果在一含有極高導數項的能量泛函空間中獲得，解的唯一性在比存在性的泛函空間更光滑的函式空間中得到。對一般三維可壓縮無粘流體方程的物理真空自由界面問題，項目主持人及合作者在一般的可定義古典解的函式空間裡證明了解的唯一性，並對球對稱運動在新的泛函空間內建立了局部適定性。 磁場對於流體自由邊界問題適定性及穩定性的影響在非線性偏微分方程理論和實際套用都十分重要。在粘性流體方程研究中已有很多重要結果，然而對於無粘流體，由於缺乏粘性所起到的對解的光滑化作用， 問題變得更為困難。 項目主持人及其合作者利用一類幾何方法結合非線性偏微分方程先驗估計技巧確定了一類穩定性條件。並給出了關於解的Sobolev 範數和自由界面的第二基本形式的上界和單射半徑下界的先驗估計。 非線性波方程在廣義相對論， 流體力學及彈性力學中都有十分重要的套用。非線性波方程大初值問題在非線性偏微分方程理論研究中十分重要而困難。對於一類半線性波方程，在非線性項滿足一定的條件下， 項目參與人於品及其合作者證明了一類大初值Cauchy問題整體解的存在性。三維雙曲方程的激波形成問題是一十分重要但非常困難的問題。對於三維無旋可壓縮Euler方程，最近的突破性進展由Christodoulou-Miao 等人獲得，然而這一結果近適合於一類小初值。 對於一類三維擬線性二階波方程，項目參與人於品及其合作者證明了一類大初值Cauchy問題在有限時間形成激波。 以上所獲研究結果在非線性偏微分方程， 流體力學及廣義相對論數學理論研究中十分重要。
