基本介紹
- 中文名：弱拓撲
- 外文名：weak topology
- 所屬學科：泛函分析
- 性質：局部凸拓撲
- 相對概念：強拓撲
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定義
具體定義
設Ω為非空集。考慮函式族𝓕，使得對任意f∈𝓕，
為拓撲空間，而有形式f:Ω→
。設
為Ω的使得𝓕的所有函式均為連續函式的拓撲集，則拓撲
稱為由
決定的弱拓撲。
性質
若A為局部凸空間𝒳的凸子集，則A的閉包等同於A的弱閉包。
賦范空間
定義
性質
若𝒳為無限維向量空間，則𝒳在弱拓撲下非完備空間。
簡介
弱拓撲(weak topology)是一種局部凸拓撲。
對稱地，Y上由半範數族{|<x,·>||x∈X}確定的局部凸拓撲稱為Y的關於對偶X的弱拓撲，記為σ(Y,X)。當X為局部凸空間時，(X,X)為自然對偶，σ(X,X)稱為X的弱拓撲，而σ(X,X)稱為X的弱*拓撲。相應地，X中原有的拓撲稱為強拓撲。一般地，X的弱拓撲比強拓撲弱，從而弱閉集必是強閉集；對於凸集，其逆也成立，即強閉凸集也是弱閉的。集合的弱有界性與強有界性是等價的。
拓撲
1.X與空集都屬於T;
2.T中任意兩個成員的交屬於T;
3.T中任意多個成員的並屬於T;
則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。
設T1與T2為集合X上的兩個拓撲。若有關係T1T2，則稱T1粗於T2，或T2細於T1。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。
局部凸空間
局部凸空間是最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間，如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基，就稱E是局部凸的拓撲線性空間，簡稱局部凸空間，而E的拓撲稱為局部凸拓撲。零元的每個均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函pV(x)是E上的連續半範數.反之，設{pλ|λ∈Λ}是E上一族半範數，E上使pλ(λ∈Λ)均為連續的最弱拓撲是局部凸的，且零元的均衡凸鄰域基由下面形式的集組成：
這個局部凸拓撲稱為由半範數族{pλ}確定的局部凸拓撲。如果對任何x∈E(x≠0)，都存在λ∈Λ使pλ(x)≠0，則{pλ|λ∈Λ}確定的局部凸拓撲是豪斯多夫拓撲.通常局部凸空間都指豪斯多夫局部凸空間.E中的定向半序點列{xα}收斂於x∈E等價於對每個λ∈Λ，pλ(xα-x)→0.設E1是由另一半範數族{qβ}確定的局部凸空間，則使線性映射T：E→E1連續的充分必要條件是，對任意的qβ，總存在有限個λ1，λ2，…，λn∈Λ和常數c，使不等式：
對一切x∈E成立。
局部凸空間的完備化空間也是局部凸的。根據哈恩-巴拿赫泛函延拓定理，局部凸空間上存在足夠多的非零連續線性泛函。正因為如此，局部凸空間理論成為拓撲線性空間理論中最重要的部分。
關於局部凸空間理論的發展大約是始於迪厄多內(Dieudonné，J.)和施瓦茲(Schwarz，L.)在1949年的工作，它的一個主要推動力是分布理論，即廣義函式理論。
賦范線性空間
賦范線性空間是一類可以引進“長度”概念的線性空間。設X是線性空間，X上滿足下列條件的實值函式p(·)稱為X上的範數：
1.p(x)≥0(x∈X);p(x)=0⇔x=0.
2.p(αx)=|α|p(x)(α為數，x∈X).
3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x，y∈X).
對x∈X，p(x)稱為x的範數，通常記為‖x‖.賦有範數的線性空間(X，‖·‖)稱為賦范線性空間，簡稱賦范空間。
