拓撲線性空間

拓撲線性空間理論是泛函分析的一個重要分支，又稱之為拓撲向量空間，它是具有拓撲結構的線性空間，是賦范線性空間概念的推廣。

基本介紹

• 中文名：拓撲線性空間
• 外文名：topological linear space
• 別名：拓撲向量空間
• 概述：具有拓撲結構的線性空間
• 所屬領域：泛函分析
• 學科：數學

發展史

拓撲線性空間理論是泛函分析的一個重要分支，又稱之為拓撲向量空間，它是具有拓撲結構的線性空間，是賦范線性空間概念的推廣。其基本概念建立於20世紀30年代，而今已經發展成為一門完整的學科，在純粹數學和套用數學、理論物理、現代力學和現代工程理論中都有廣泛套用。

20世紀初，法國數學家弗雷歇在引入距離空間，並用距離概念來統一過去分析學中的許多重要收斂時，就知道[a，b]上一列函式的“點點收斂”概念是不能用距離收斂來描述的。20世紀30年代以來，泛函分析中大量套用弱收斂、弱拓撲，它們都不能用距離來描述。這就很自然地把賦范線性空間理論發展成更一般的拓撲線性空間理論，其中最主要的成就是局部凸拓撲線性空間理論。這一分支的發展是與一般拓撲學的發展緊密聯繫在一起的。拓撲學方法在這裡發揮了極其重要的作用，法國數學家勒雷和波蘭數學家紹德爾所推廣的不動點定理就是有力的例證之一。1935年以後，經過十多年的努力，這一分支終於形成，它的許多結果不僅在泛函分析中有著廣泛的套用，而且為其他分析學科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。

定義

拓撲空間

分析數學中常常出現各種不同的收斂性，它們都可以統一地用拓撲空間的語言來刻畫。

定義1 設X是非空集合， 是由X的某些子集所組成的集類，如果

（1）

（2） 中任意個集合的和集屬於 ；

（3） 中任意兩個集合的交集屬於 ；

則稱 為拓撲空間，稱 為X上的拓撲，稱 中的集合為 中的開集，稱開集的余集為閉集。

註：在拓撲 明確的情況下，常簡稱X為拓撲空間。

拓撲線性空間

現代數學常見的空間中不僅具有拓撲結構，而且元素之間可以自然地進行線性運算，其中線性運算關於相應的拓撲還是連續的。

下面是拓撲線性空間的定義。

定義2 設X為實數域或複數域K上的線性空間， 是X上的拓撲，如果

（1）加法是 的連續映射；

（2）數乘是 的連續映射；

則稱 是X上的向量拓撲或線性拓撲，稱 為拓撲線性空間或拓撲向量空間。

註：1）零元的均衡的鄰域全體組成零元的鄰域基。

2）滿足T₁分離公理的拓撲線性空間是完全正則的。

舉例

例1 設Eⁿ為n維Euclid空間，對x，y∈Eⁿ，x={x_i}，y={y_i}，規定

Eⁿ中的子集族

即 是Eⁿ中按通常意義的開集全體，則 是Eⁿ上的一個拓撲。並且，Eⁿ按線性運算

為拓撲線性空間。

例2 對p≥1， 對 規定

可知 按線性運算

為拓撲線性空間。

拓展

局部凸空間

定義3 如果拓撲線性空間X滿足T₂分離公理，而且X中任何包含0的開集都包含一個均衡吸收的凸開集，則稱X為局部凸的拓撲線性空間，簡稱為局部凸空間。

距離線性空間

如果拓撲線性空間中的拓撲由距離導出，則得到距離線性空間的概念。由於任何距離線性空間均可改賦一個等價的平移不變的距離，即滿足

的距離，因而只需考察具有平移不變距離的線性空間。下面給出一個重要概念。

定義4 設X為線性空間，定義於X上的 滿足：

（1）

（2）

（3）

（4）

則稱X為賦準范線性空間。

賦準范線性空間是一個具有平移不變距離的距離線性空間，其距離由

決定。