子基是與拓撲有關的概念。設(X,T)為拓撲空間,S⊂T,若S的元的所有有限交的族為T的基,則稱S為拓撲空間(X,T)的子基或拓撲S的子基,每一個非空集族S必是X=∪S上的某個拓撲的子基,並且該拓撲由S惟一確定,它是包含S的最小拓撲,一個拓撲可以有不同的子基,但子基確定惟一的拓撲。
基本介紹
- 中文名:子基
- 外文名:subbase
- 所屬學科:一般拓撲學
- 相關概念:拓撲、拓撲空間、基等
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定義
等價定義為
相關概念
拓撲基
設
是拓撲空間,
,若
的元素都可表示為
中某些元素的並,即對於
,存在
使得
,則稱
是拓撲
的基或拓撲基,也稱為拓撲空間
的基或拓撲基,
中的元素稱為基開集。











鄰域基
例子
例1 設
是任意拓撲空間,則
就是它的基。


例2 設X是非空集,記


相關定理
定理1



















定理2
(1)
;

(2)對於任意
是
中某些元素的並。


若
滿足上述兩個條件,則集合X上以
為基的拓撲是唯一的,此拓撲稱為以
為基生成的集合X上的拓撲。



定理3
證明 記



因為
,從而
,又對於
中任意兩個元素的交是
中元素的有限交,可見
的任意兩個元素的交屬於
,於是這個交是
中元素的並。因此,從定理2中條件的充分性可知,集合X上有拓撲
以
為它的基,所以
是此拓撲
的子基,若
*是以
為子基的集合X上的另一拓撲,則根據子基定義,
*是以
為基,所以,由定理2可知
*=
。

















例3 設
,則以
為子基生成的集合X上的拓撲是


