可允許拓撲

簡介

可允許拓撲是一種局部凸拓撲。

設(X,Y)是對偶線性空間，𝒴是Y中的有界集族，且並U{A|A∈𝒴}的線性包是Y，即Y是U{A|A∈𝒴}張成的線性空間，對每個A∈𝒴，定義半範數

則由半範數族{p_A(x)|A∈𝒴}確定的X上局部凸拓撲T_𝒴，稱為關於對偶線性空間(X,Y)的一個可允許拓撲，或在集類𝒴上的一致收斂拓撲，而相應的有界集族𝒴稱為可允許集族。

令𝓕是Y中有限集全體形成的集族，則有T_𝓕=σ(X,Y)，因而弱拓撲是可允許的。

局部凸空間是最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間，如果E中存在均衡凸集組成的零元的領域基，就稱E是局部凸的拓撲線性空間，簡稱局部凸空間，而E的拓撲稱為局部凸拓撲。

半範數是範數的一種推廣，其比範數的要求弱（半範數比範數少一個條件：使半範數值為0的元素不一定是0元素），範數一定是半範數。局部凸線性空間的拓撲可以由一族滿足分離公理的半範數來確定。

設p是定義於線性空間X上的非負實值函式，滿足：

（1）

（2）

則稱p是X上的一個半範數，X稱為賦半范線性空間。

註：半範數與範數的不同之處在於，由p(x)=0不能推出x=0.（使半範數值為0的元素不一定是0元素）。