弱序列完備

弱序列完備(weak sequential completeness )是關於弱拓撲的序列完備性。設X是賦范線性空間，X*是X的共軛空間，稱X(X*)是弱(弱*)序列完備，是指X(X*)中的任何弱(弱*)基本序列都在X(X*)中弱(弱*)收斂。

基本介紹

• 中文名：弱序列完備
• 外文名：weak sequential completeness
• 領域：數學
• 學科：拓撲學
• 性質：序列完備性
• 對象：弱拓撲

弱拓撲

弱拓撲是一種局部凸拓撲。設線性空間對(X，Y)關於雙線性泛函〈·，·〉成為對偶，稱X上由半範數族{|〈·，y〉||y∈Y}確定的局部凸拓撲為X的關於對偶Y的弱拓撲，記為σ(X，Y)。對稱地，Y上由半範數族{|〈x，·〉||x∈X}確定的局部凸拓撲稱為Y的關於對偶X的弱拓撲，記為σ(Y，X).當X為局部凸空間時，(X，X)為自然對偶，σ(X，X)稱為X的弱拓撲，而σ(X，X)稱為X的弱*拓撲。相應地，X中原有的拓撲稱為強拓撲。一般地，X的弱拓撲比強拓撲弱，從而弱閉集必是強閉集；對於凸集，其逆也成立，即強閉凸集也是弱閉的。集合的弱有界性與強有界性是等價的。

賦范線性空間的深入研究必然遇到弱拓撲問題。事實上，1930年，馮·諾伊曼(von Neumann，J.)就注意到了這一點.這也是需要引入拓撲線性空間的一個原因。

完備的拓撲線性空間

賦范線性空間完備性的推廣。設E是拓撲線性空間，{x_α|α∈Λ}(Λ為有序集)是E中的定向列(網)，如果對零元的任一鄰域V，有α_V∈Λ，使當αα_V，α′α_V時有x_α-x_α′∈V，則稱{x_α|α∈V}為基本定向列(或柯西網)。如果E中每個基本定向列必在E中收斂，則稱E是完備的。如果E中每個基本點列必在E中收斂，則稱E是序列完備的。如果E中每個有界基本定向列必在E中收斂，則稱E是有界完備的或擬完備的。一般地，完備⇒有界完備⇒序列完備。對於賦范線性空間，這三者等價。

拓撲線性空間必可完備化，即可拓撲線性同構於一個完備拓撲線性空間的稠密子空間。普塔克(Ptak，V.)關於拓撲線性空間的完備性的進一步討論，使得在一類很廣的完備拓撲線性空間中開映射定理得到相應的推廣。建立開映射定理和閉圖象定理是拓撲線性空間理論中的重要課題之一。

拓撲線性空間

泛函分析的重要分支，又稱之為拓撲向量空間，它是具有拓撲結構的線性空間，是賦范線性空間概念的推廣。

20世紀初，法國數學家弗雷歇在引入距離空間，並用距離概念來統一過去分析學中的許多重要收斂時，就知道[a，b]上一列函式的“點點收斂”概念是不能用距離收斂來描述的。20世紀30年代以來，泛函分析中大量套用弱收斂、弱拓撲，它們都不能用距離來描述。這就很自然地把賦范線性空間理論發展成更一般的拓撲線性空間理論，其中最主要的成就是局部凸拓撲線性空間理論。這一分支的發展是與一般拓撲學的發展緊密聯繫在一起的。拓撲學方法在這裡發揮了極其重要的作用，法國數學家勒雷和波蘭數學家紹德爾所推廣的不動點定理就是有力的例證之一。1935年以後，經過十多年的努力，這一分支終於形成，它的許多結果不僅在泛函分析中有著廣泛的套用，而且為其他分析學科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。

賦范線性空間

一類可以引進“長度”概念的線性空間。設X是線性空間，X上滿足下列條件的實值函式p(·)稱為X上的範數：

1.p(x)≥0(x∈X)；p(x)=0⇔x=0。

2.p(αx)=|α|p(x)(α為數，x∈X)。

3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x，y∈X)。

對x∈X，p(x)稱為x的範數，通常記為‖x‖。賦有範數的線性空間(X，‖·‖)稱為賦范線性空間，簡稱賦范空間。