《Banach空間局部幾何性質的傳遞性及其量化研究》是依託哈爾濱理工大學，由計東海擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Banach空間局部幾何性質的傳遞性及其量化研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：計東海
- 依託單位：哈爾濱理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
為了研究空間局部定性和定量性質與空間整體性質之間的關係並部分解決賦范線性空間中的Banach-Mazur旋轉問題，通過兩種方式研究空間局部性質對整體性質的影響：一是在假定空間的範數具有某種傳遞性 (包括傳遞性、幾乎傳遞性、凸傳遞性和範數的極大性) 的條件下，考察相關局部性質對空間整體性質的影響；二是在不假定空間具有某種傳遞性的條件下，考察空間某些較強的局部性質對整體性質的影響。考慮的局部性質分為定性的性質和定量性質兩類，具體內容包括：與廣義正交性相關的點態性質和局部性質，與廣義正交性相關的點態幾何常數，其他點態幾何常數和來源於歐氏空間中凸幾何的相關點態性質。立足於廣義正交理論，注重點態局部性質對整體性質的影響是本項目的特色。預期的相關成果對Banach-Mazuer旋轉問題的解決、對我們更好的掌握空間局部數量性質和整體性質之間的關係具有重要的理論意義。
結題摘要
本項目圍繞著1932年Banach和Mazur提出的Banach-Mazur旋轉問題，按照研究計畫取得了一些較重要的進展。一方面，我們證明若一個維數不小於3且幾乎傳遞的實Banach空間包含一個I-向量，一個-IP向量，一個P-向量，或一個點態非方常數取值為根號2的單位向量，則該Banach空間是一個Hilbert空間；另一方面，我們證明若一個實Banach空間中存在一個等距反射向量，使得包含該等距反射向量的任意一個2維子空間的單位圓中均存在另一個等距反射向量使得連線這兩個等距反射向量的劣弧的弧長與該單位圓周長的比值是一個不超過四分之一的無理數，則該Banach空間是一個Hilbert空間。我們在該方向取得的大部分結果改進了前人利用等距反射向量得到的Hilbert空間的特徵性質。鑒於廣義正交理論在這部分工作中的重要作用，我們還研究了賦范線性空間中畢達哥拉斯正交的圓唯一性，討論了等腰正交的齊次性，並利用我們在該方向取得的成果刻畫了兩類特殊的有限維Banach空間並討論了這些刻畫關於Banach-Mazur距離的穩定性。除此之外，我們還研究了張量積空間的相關幾何性質以及在有界集上弱連續的連續n-齊次多項式構成的空間的弱序列完備性，討論了賦范平面上Cassini曲線的幾何性質及其與空間幾何性質之間的關係。與此同時，我們還研究了賦范線性空間中的完備集，將適用於歐氏空間的幾種將集合完備化的方法推廣到更一般的賦范線性空間當中；研究了完備集和不可縮集之間的關係，構造實例說明賦范線性空間中的完備集不一定是不可縮的，修正了前人的一個錯誤論斷。項目組在上述方向發表學術論文13篇，其中12篇被SCI檢索。 項目執行期間，項目組1名成員博士後出站，9名碩士研究生取得碩士學位；項目組承辦了“第五屆分析數學及其套用國際學術會議”，成立了哈爾濱理工大學“凸性及其套用研究所”；項目組成員受德國DAAD基金會資助赴德合作研究1人次。
