代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。
局部代數(local algebra)是與局部環相應的一類特殊代數。德國數學家菲廷證明了局部代數的重要性質。
基本介紹
- 中文名：局部代數
- 外文名：local algebra
- 領域：代數學
- 對應環：局部環
- 本質：一類特殊代數
- 相關人物：菲廷
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概念介紹
局部代數(local algebra)是與局部環相應的一類特殊代數。菲廷(Fitting，H.)證明了：若A模N的自同態代數EndA(N)是局部的，則N不可分解。當A是域F上有限維代數時，其逆亦真。
代數
數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變數所加的條件。如果只有一個變數，那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變數的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。
設K為一交換體. 把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：
——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;
——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;
——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;
這三個法則滿足下列條件：
a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;
b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有
x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;
c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).
設A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：
無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨著哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始. 在十九世紀下半葉，隨著M.S.李的工作，非結合代數出現了。 到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為運算元域的限制，代數得到了重大擴展。
局部環
1.R是局部環.
2.R中不可逆元的集A是(雙邊)理想.
3.A是極大左(右)理想.
4.對於任意r∈R，r或1-r必是左(右)可逆元.
5.R的雅各布森根J(R)是極大左(右)理想.
6.R/J(R)是除環.
7.J(R)=A={x∈R|Rx≠R}(x稱為非生成子).
若R/R(J)是半單的，則稱R是半局部的。局部環的概念對於模的分解性質十分重要。對於任意R模M，若M的自同態環End(M)是局部的，則M是不可分解的。反之，若M是不可分解且是內射的，則End(M)是局部環。東屋五郎(Azumaya，G.)曾利用局部環的概念，把古典的克魯爾-銳瑪克-施密特定理推廣為項數可以是無窮的情形。局部環也具有特殊的同調性質。卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)於1958年證明：對於局部環R，任意R投射模是R自由的。
人物簡介
菲廷是德國數學家。在柯尼斯堡工作。主要研究有限群和理想子環論，他引進了所謂菲廷群。長期在哈勒定居，主要研究歐洲中世紀早期的法律史。主張“連續論”，認為中世紀歐洲法學的發展可從注釋法學派(即波倫亞學派)的主要代表伊爾內留斯(Imerius)追溯到查士丁尼，找到有關法律學識的直接線索。在所著《中世紀早期有關法律的著作》(1876)和《波倫亞學派的開端》(1888)中發表了這一研究成果。1877年德國民事訴訟法頒布後，主要研究訴訟法，其成果為《德國民事訴訟》(1878)、《德國破產法和破產手續》(1881)。還著有《集團財產的歷史發展及其當前的一般作用》(1871)、《伊爾內留斯法典概要》(1894)、《伊爾內留斯法學上的微妙問題》(1894)。
