通常二重點

定義

通常二重點是代數曲線上最簡單的奇點。

設C是代數曲線，P∈C是C上的奇點。

不妨設C在P附近的曲線方程 f(x,y)=0, 且P=(0,0)是原點。

P稱為二重點，如果f(x,y)的最低次項的次數是2；進一步，如果還要求C在P處恰好有兩條切線，就稱P是通常二重點。

在適當的坐標變換下，通常二重點的局部方程可寫為標準方程： x²-y²=0。

設μ_P(C)是C在P處的Milnor數，那么P是通常二重點若且唯若μ_P(C)=1。

在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面P²上由一個齊次多項式f(X,Y)定義的零點。

曲線在一點P的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於

中的曲線：設該曲線由n-1個n+1個變元的齊次多項式

定義，若其雅可比矩陣

在區線上一點P滿秩，則稱它P點光滑；反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式

的選取無關，也與曲線的嵌入方式無關。

在平面射影曲線的例子，假設曲線C由齊次方程式 f(x,y,z)=0定義，則C的奇點恰為C上使得f為零的點，即：

在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即平滑曲線。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可借著平面的拉開映射或正規化解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對代數封閉域上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格，後者是個雙有理不變數。