Milnor數

我們這裡專指曲線的 Milnor 數，一般情形可類似討論。

假設C是閉域 k 上的一條曲線，在奇點p附近由

局部方程: f(x,y)=0 定義。

設f_x (相應的，f_y) 表示f(x,y)的關於x（相應的，y）的偏導數。

Milnor 數 μ_p=dim_k k[x,y]/(f_x,f_y).

這裡k[x,y]是係數取自域k的多項式全體構成的環，（f_x,f_y）是由f_x和f_y生成的理想，k[x,y]/(f_x,f_y) 是相應的商環. μ_p就是這個環作為k-向量空間的維數。

當k是複數域時，代數曲線C的Milnor數可以用奇點的

幾何虧格--記為δ_p, 以及在奇點處的局部分支數--記為k_p 表示。這就是著名的Milnor公式：

μ_p=2δ_p-k_p+1.

基本介紹