局部表現模(locally presented module)是一種有用的模。若環A是半完全環,則A是序列環的充分必要條件是,每個有限表現左A模是局部表現A模的直和。
基本介紹
- 中文名:局部表現模
- 外文名:locally presented module
- 領域:數學
- 學科:模論
- 性質:一種有用的模
- 對象:局部投射模
概念,模,同態,序列環,
概念
局部表現模(locally presented module)是一種有用的模。設M是A模,若對任意滿同態α:AN→AN″,任意非零同態φ:M→N″和M的任意有限生成子模M′,φ在M′上的限制總可擴張為M′到N的同態,即有同態r:M′→N,使得φ|M′=α°r成立,則稱M是局部投射模。對A模M,若有正合序列:Q→P→M→0,其中P和Q都是局部投射模,則稱M是局部表現模。當Q,P都是有限生成投射時,M就稱為有限表現模。若環A是半完全環,則A是序列環的充分必要條件是,每個有限表現左A模是局部表現A模的直和。
模
一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M,若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M,並且這個積滿足條件:
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A,x,y∈M),
則稱A為M的運算元區,稱M為帶運算元區A的模,又稱為A上的模或A模。這時,由對應(a,x)→ax確定的映射A×M→M,稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態aM:x→ax,而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射:μ: A→End(M), a→aM。
特別地,考慮A是結合環,若滿足上述條件1的A模還滿足:
2.(a+b)x=ax+bx;
3.(ab)x=a(bx);
即映射μ:A→End(M)為環同態,則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側,所以M就稱為左A模,記為AM。類似地,有右A模M,記為MA。若A有單位元1,且又滿足條件
4.1x=x (x∈M);
則稱M為酉模或麼模,以下設A模都是酉模。
同態
設E與F為兩個群胚,它們的合成法則分別記為⊥與⊤. 稱從E到F中的映射f是群胚同態,如果對於E的任一元素偶(x,y),有:
設E與F為兩個么半群(兩個群),稱從E到F中的映射.f是么半群(群)的同態,如果f是群胚的同態,且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下,後一個條件是自然滿足的,但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態, 而並不因此就是么半群的同態)。
設G為乘法群,而a為G的元素. 由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體),稱從A到B中的映射f是環(體)的同態,如果f是加法群的同態,且為乘法么半群的同態. 這就是說,對A的任一元素偶(x,y),有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y),並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如,設n為非零自然數;使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態,如果它是線性映射,並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如,設E為交換體K上的非零有限n維向量空間,而B為E的基. 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射,如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣,則這一映射是酉代數的同態。
序列環
一類特殊環。指可表為其單側理想有線性序的(單側)理想的有限直和的環類。一個模M,若它的子模對包含關係(AB或BA)是線性序,則稱M是單列模。環R當看做左正則模RR是有限個單列模的直和時,稱R是左序列環.同樣地,可定義右序列環,但R是左序列環未必為右序列環。若環R是左序列環也是右序列環,則稱R是序列環.任何阿廷主理想環皆為序列環。若R是左遺傳環且任意左R模的內射包是平坦的,則R的任意左阿廷商環是左序列環。克德(Ko¨the,G.)於1935年首先引入了阿廷序列環並稱之為單列環。中山正(Nakayama,T.)於1940年稱之為廣義單列環。在有些文獻中,單列環一詞通常用來指準素可分解的阿廷序列環。淺野啟三(Asano,K.)於1949年曾刻畫阿廷序列環為任意單側理想都是主理想的環。阿廷序列環是特殊的QF環,它也具有良好的同調性質。畢爾德(Byrd,K.A.)於1970年證明:環R是序列環若且唯若任意R模是擬內射的;又若且唯若它是擬投射的。