局部有限代數(locally finite algebra)與局部有限群相平行的概念。若域F上代數A中任意有限個元生成的子代數是有限維的(或冪零的)，則稱A是局部有限代數(或局部冪零代數)。
基本介紹
- 中文名：局部有限代數
- 外文名：locally finite algebra
- 領域：數學
- 平行概念：局部有限群
- 學科：群論
- 相關群：周期群
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概念
局部有限代數是與局部有限群相平行的概念。若域F上代數A中任意有限個元生成的子代數是有限維的(或冪零的)，則稱A是局部有限代數(或局部冪零代數)。局部有限代數是代數的代數，逆命題不真。
有限群
具有有限多個元素的群，是群論的重要內容之一。其所含元素的個數，稱為有限群的階。歷史上，抽象群論的許多概念起源於有限群論。有限群可分為兩大類：可解群與非可解群(即單群)。
有限群的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。如何確定可解群和單群是抽象群理論建立後的一個重要發展方向。德國數學家赫爾德在1889年以後的若干年內，詳細地研究了單群和可解群，證明：一個素數階循環群是單群，n個(n≥5)文字的全部偶置換組成的交換群是單群。他還發現了許多其他有限的單群。赫爾德和若爾當還建立了在有限群中的若爾當—赫爾德合成群列和若爾當—赫爾德定理。在19世紀末，德國數學家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數學家伯恩塞德等都致力於可解群的研究。20世紀初伯恩塞德證明的關於pq(p、q是素數)必是可解群的定理，導致了對有限單群進行分類的重要研究。美國數學家湯普森和菲特在20世紀60年代初證明了有限群中長期懸而未決的一個猜想(見伯恩塞德猜想)：奇數階群一定是可解群。它推動了有限群理論的發展。有限單群的完全分類，即找出有限單群所有的同構類，經過上百名數學家約40年的共同努力，終於在1981年得到解決，這是數學史上的一個非凡成就。
局部有限群
一種特殊的周期群。它們構成周期群類的一個真子類。若群G的任意有限多個元素生成的子群是有限的，則稱G是局部有限群。局部有限性是在群的有限性條件中最接近群階的有限性的一種性質。局部有限群理論是無限群論中比較成熟的分支之一，它在好幾個方面都得到較為深入的發展。例如，局部有限群的西洛理論，無限局部有限群中無限阿貝爾群的存在性理論等。這一理論的最大特點是有限群論的許多深刻結果和強有力的技巧被廣泛地套用。
周期群
亦稱撓群。一種常見的重要群類。若群G的所有元素的階都是有限的，則稱G為撓群；反之，若G的所有非平凡元素的階都是無限的，則稱G為無扭群。存在既不是撓群，也不是無扭群的群，即既包含非平凡的有限階元素，又包含無限階元素的群，稱為混合群。若群G的一切有限階元素組成群G的子群T，T是G的最大的周期子群，稱為G的最大周期子群。T是G的特徵子群，且G/T是無扭群。群的最大周期子群一般未必存在，但任意阿貝爾群恆有最大周期子群存在。
群論
研究具有一種結合法的特殊代數系——群的科學。代數學的分支學科。如果在元素集合G中定義了一種叫乘法的運算，並且這個運算滿足下面四個條件： (1) 對任意f，g∈G，必有 fg∈G；(2) 對任意f，g，h∈G，都有 (fg) h=f (gh)；(3) G中有唯一的e，使得對G中任意元素f 都有ef=fe=f; (4) 對G中任意元素f，在G中有唯一的f使得ff=ff=e。那么，稱G為群。各種群的結構、各種群運算的性質及群的套用，是群論研究的對象。
群論研究的內容十分豐富。概括起來主要包括有限群論、有限生成群、一般群論、群表示論等。本世紀20年代量子力學誕生之前，群論只是一個純粹的數學分支。而後，在物理學中，群論的方法導致了有關原子和分子結構的重大發展。現在，群論已經是量子物理學和量子化學經常用到的工具。因此，群論是蓬勃發展的、具有廣闊套用前景的學科。
