結構常數

結構常數

結構常數是定義在李群上的一組常數。它們決定了該李群的李代數的元素之間的李括弧。反過來,給定一組滿足某些性質的常數,就一定存在以它們為結構常數的局部李群。

基本介紹

  • 中文名:結構常數
  • 外文名:structural constant
  • 所屬學科:數學
  • 相關概念:李代數、李群、同構等
基本介紹,交換子表,無窮小群作用,

基本介紹

定理1 設g是有限維李代數,則存在惟一一個單連通李群G*,以g為其李代數。此外,如果G是另一個以g為其李代數的連通李群,則
是G的單連通李覆蓋群(即
群同態,而G*和G是局部同構李群)。
若g是一個有限維李代數,則根據定理1,g是某個李群G的李代數。如果構想
是g的一組基,那么就存在一組常數
使得
由於李括弧還滿足反對稱性和Jacobi恆等式,因此不難驗證
還必須滿足下面的限制條件:
(1)反對稱性:
(2)Jacobi恆等式:
由於
構成一組基,如果我們知道
,利用式(1)和李括弧的雙線性即可重新構造出李代數g來。因此稱滿足條件即式(2)和式(3)的常數組
為李代數g的結構常數。反之,不難證明,任意一組滿足式(2)和式(3)的常數
都是某個李代數的結構常數
如果選取g的另一組基
式中,矩陣
可逆,則相對於
的結構常數為
式中,
的逆矩陣。
因此,兩組結構常數確定同一個李代數的充分必要條件是:存在矩陣
,使它們滿足式(5)。於是由定理1可見,在連通李群的李代數和滿足式(2)和式(3)的結構常數的等價類之間存在一一對應。所以,可以通過研究代數方程式(2)和式(3)來研究有限維李代數的性質,當然這並不能代替整個李群理論。

交換子表

展示一個李代數的結構,最方便的方法是用交換子。如果g是一個r 維李代數,
是它們的一組基,那么g的交換子表就是一個
表格,第(i,j)個元素就表示李括弧
。由於李括弧是反對稱的,交換子表也是反對稱的,特別是對角線上的元素為0。有了交換子表,結構常數就可以很方便地從交換子表中讀出,即
就是交換子表中第(i,j)個元素里
的係數。
以特殊線性群
的李代數
為例說明交換子表的表示法。此時g由跡為零的2×2矩陣全體組成,取一組基為
那么相應的交換子表見表1。
表 1 交換子
A1
A2
A3
A1
0
A1
-A2
A2
-A1
0
A3
A3
2A2
-A3
0
例如,從表中可知
等。結構常數是
,其他
全為零。

無窮小群作用

下面簡要地介紹無窮小群作用。
設G是作用在流形M上的局部變換群,即
那么相應地,存在G的李代數g在M上的無窮小作用。換言之,如果V∈g,則定義
是M上的這樣一個向量場,其確定的流與G的單參數子群exp(tV)在M上的作用重合,即對x∈M,
滿足關係:
式中,
。進一步注意到,由於在有定義的地方,有如下等式成立:
從而對任意g∈G,有
由李括弧的性質可知,
是g到M上的向量場的李代數的一個李代數同態,即
所以,一切與V∈g對應的向量場
組成的集合形成M上的向量場的一個李代數,它與g同構;特別是具有與g相同的結構常數。
反之給定M上一個有限維向量場李代數,總存在一個局部變換群,其無窮小作用由已知李代數生成。因此有下面的定理。
定理2
是流形M上的滿足如下關係的向量場
式中,
是常數。那么存在一個李群G,其李代數以
為相對於某組基
的結構常數,並且G在M上的局部群作用使得曲
由式(6)定義。
通常,忽略對映射
的明顯依賴,而把李代數g和它的像
視為等同。這樣,通過下面的公式從群變換可以重新得到g,即
g中的向量場V叫做G的群作用的一個無窮小生成元。定理2
表明,只要已知形成一個李代數的基的無窮小生成元,那么總能通過取指數求得一個局部變換群,其李代數與已知李代數相同。

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