交換代數中的一些一致性質

《交換代數中的一些一致性質》是依託上海師範大學，由周才軍擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：交換代數中的一些一致性質
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：周才軍
• 依託單位：上海師範大學

項目摘要

交換代數是主要研究諾特交換環的重要數學研究分支，是目前國際上很活躍的研究領域，其研究成果不僅自身具有理論上的深刻性和重要性，也是代數幾何等學科的重要研究基礎。在交換代數的理論中存在許多依賴於理想選取的結果，例如Artin-Rees引理等，上世紀末著名代數學家Huneke猜測在諾特環的理想為有限生成的背後可能蘊涵著一些深刻的不依賴於理想選取的一致性質，包括一致Artin-Rees性質，一致Briancon-Skoda性質等。目前國際上已經證明了局部優秀環上有限生成代數具有上述一致性質，但對一般的非局部優秀環上的有限生成代數的一致性質仍然知之甚少，連最好的優秀正則環的一致性質都還未完全解決。本項目的主要任務是進一步發展處理這些一致性問題的從局部到整體的有效方法，力爭得到一些重要環的一致Artin-Rees性質，一致Briancon-Skoda，以及局部上同調模的一致零化子等一致性質的新結果。

結題摘要

本項目主要研究交換代數的一些一致性質， 包括一致Artin-Rees性質、一致Briancon-Skoda性質等， 是關於交換環的整體性質研究的課題. 目前國際上主要關注的是優秀環的一致性質研究。由於Huneke證明了一致Artin-Rees性質可通過一致Briancon-Skoda猜想和CM(R)猜想得到，在本項目之前我們又已經完全證明了CM(R)猜想，因此研究一致Briancon-Skoda性質是解決這些一致性問題的關鍵。從我們的研究以及國際上的研究來看，要徹底解決一致Briancon-Skoda猜想目前還存在很大的困難。我們轉而研究一個比一致Briancon-Skoda性質的問題較弱的問題(1.1)(見報告正文)。我們證明了如果該問題成立，則所有優秀環具有一致Artin-Rees性質。我們把研究的重點放在有限維正則環的商環上，得到了有限維的優秀正則環的商環的極大理想的reduction number具有一致的上界，從而問題（1.1）對正則優秀環的商環的所有極大理想成立。還證明了對於包含有理數域的正則環，如果它的整商環的正則性均滿足Jacobi條件， 則該優秀環的整商環具有一致Briancon-Skoda性質, 因而該類正則環及其商環具有一致Artin-Rees性質。這些結果表明我們基本完成了項目的目標。除了上述關於一致性問題的研究，項目組成員還研究了局部環上有限生成模的自同態的重數的性質、研究了與非本原復反射群的代數與組合性質，表示理論相關的一些問題以及半群的等一些重要問題。