《多項式代數上自同構的結構研究》是依託吉林大學，由劉大艷擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：多項式代數上自同構的結構研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：劉大艷
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
多項式代數的自同構和導子理論具有深刻的幾何背景, 特別是與仿射代數幾何領域的Jacobi 猜想、Tame生成子問題、Zariski消去問題等密切相關. . 本項目圍繞多項式代數上自同構的結構展開研究, 具體包括: (1)刻畫擬局部有限自同構的結構, 考慮擬局部有限自同構是否構成多項式代數自同構群的生成集; 研究多項式代數、自由metabelian代數和自由結合代數的收縮，由此刻畫這些代數的自同態半群的自同構和這些代數範疇的自同構, 其中對多項式代數收縮的刻畫還有助於研究Jacobi猜想和Zariski消去問題. (2)研究多項式代數自同構到自由metabelian代數和自由結合代數的提升問題,構造這些代數上新的tame或wild 自同構類. (3)研究多項式代數上一階常係數微分運算元的像以及局部冪零導子的像是否為Mathieu子空間, 該問題源於Jacobi猜想.
結題摘要
多項式代數的自同構和導子理論具有深刻的幾何背景, 特別是與仿射代數幾何領域的Jacobi 猜想、Tame生成子問題、Zariski消去問題等密切相關. 本項目圍繞多項式代數上自同構的結構展開了研究, 完成了以下內容: (1) 我們對一類局部有限自同構--局部冪零導子誘導的指數自同構進行了研究. 刻畫了一些nice導子的結構, 在一些低維或低秩情形，證明了相應的多項式自同構可線性化，從而為tame自同構. (2) 研究了多項式自同構的提升問題. 給出了多項式代數的可加冪零自同構到自由metabelian代數的具體提升. 證明了多項式代數的穩定一個變數的自同構可以提升為自由metabelian代數上穩定一個變數的自同構. 構造了metabelian代數上不能提升到自由結合代數的自同構，從而這些自同構為wild自同構. (3) 微分運算元與Keller映射的研究密切關係，我們研究了多項式代數上一類高階微分運算元的像, 證明了其必為Mathieu子空間. 該問題來源於Jacobi猜想. 此外，我們還研究了多項式代數的收縮的結構. Zariski消去問題與多項式代數的收縮是否同構於多項式代數這一問題密切相關. 我們引入了具有稀疏齊次部分的多項式收縮, 刻畫了這類收縮的具體結構，證明了這類收縮必共軛於典範收縮同態，從而證明了它們誘導的收縮同構於多項式代數.
