《多項式環上的Keller映射和局部冪零導子的結構研究》是依託吉林大學，由孫曉松擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：多項式環上的Keller映射和局部冪零導子的結構研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：孫曉松
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
多項式環上的自同構和導子理論對於交換代數和仿射代數幾何的研究具有重要意義. Hilbert第14問題以及仿射代數幾何領域的一些著名公開問題(如Tame生成子問題、Jacobi猜想、消去問題等)都與多項式環上自同構和導子的研究密切相關. .本項目將對多項式環上的某些Keller 映射和局部冪零導子的結構進行深入研究，具體包括: (1) 研究多項式自同構的各型約化以及Keller映射的各種不變數，刻畫余不變數較小的Keller映射的結構, 由此構造新的tame自同構類和穩定tame自同構類; (2) 藉助李代數的表示理論刻畫冪零的Hesse矩陣，並由此刻畫齊次梯度映射的結構; (3) 研究多項式環上的某些局部冪零導子(特別是 nice導子)的常數環的結構, 並將其用於刻畫齊次梯度映射, 進而用於研究Jacobi猜想. 對局部冪零導子的常數環的刻畫還有助於研究Hilbert第14問題和消去問題.
結題摘要
本項目研究了多項式環上某些Keller映射和局部冪零導子的結構，完成了預期目標，取得了如下成果：(1) 研究了多項式自同構的各型約化、多重次數以及tame性. 刻畫了tame自同構的多重次數，在某些特定條件下解決了Karas提出的多重次數問題；描述了滿足初等約化以及其它各型約化的多項式自同構的性質, 並建立了II型和III型約化的存在性與自同構的多重次數問題間的聯繫；研究了Z_2分次自同構的tame性. (2) 研究了某些特殊的Keller映射的結構. 一方面，描述了Keller映射的余不變數的性質，利用Hopf代數的余根過濾刻畫了具有較小余不變數的Keller映射的結構，證明了余不變數小於n+3的Keller映射(以及余不變數小於n+6的2次Keller映射)必為tame自同構. 另一方面，研究了賦值Jacobi矩陣之和可逆的Keller映射的結構，證明了這類Keller映射可逆， 並確切描述了這類映射與可加冪零Keller映射間的關係，此外還給出了判斷賦值Jacobi矩陣之和是否可逆的有效算法．(3) 研究了多項式環上導子的交換基以及高階導子的常數環. 利用Darboux多項式給出了多項式環上一組導子成為交換基的等價條件;刻畫了在不同基域下高階導子的常數環間的關係，證明了高階導子的常數環可由閉多項式生成.
