《多項式代數及自由結合代數的自同構和導子》是依託吉林大學，由杜現昆擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：多項式代數及自由結合代數的自同構和導子
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：杜現昆
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目圍繞多項式自同構的tame生成子問題，研究多項式代數和自由結合代數的自同構和導子。（1）描述能和仿射群共同生成多項式自同構群或tame自同構群的自同構集合；利用tame自同構的多重次數集合的結構研究II，III型約化的存在性問題。（2）利用PI-環理論研究多項式自同構到自由結合代數的提升問題以及可提升性與tame性的關係。（3）研究多項式導子的Darboux多項式、常數環、三角化以及特殊局部冪零導子及其誘導的指數自同構，構造有用的例子和反例。
結題摘要
仿射幾何主要圍繞雅可比猜想、Zariski消去問題、tame生成子問題等幾個著名問題開展研究。多項式代數的自同構、導子及收縮與雅可比猜想和Zarisk消去問題都密切相關。因此刻畫多項式自同構、導子、收縮有重要意義。我們通過刻畫多項式、Poisson代數和自由代數的幾類收縮，描述了它們的一些自同構。利用Weyl代數和D模證明了特徵p的高階像猜想以及特徵零的1維高階像猜想。Ahbyankar證明了具有常值雅可比行列式的2維多項式映射，若在generic直線上是光滑的則必可逆。我們把generic直線的條件弱化為某直線，從而改進了Ahbyankar的結果。 環的特殊映射（如導子，加性映射等）在特殊子集上的性質會影響到整個映射。我們證明了矩陣代數的映射的加性可由其在某些特殊矩陣集合上的加性來確定，闡明了映射可加性對強保交換性的影響不大。我們還刻畫了Armendariz群環。 Lusztig證明了PBW基與典範基之間的轉換矩陣是主對角線元素為1的上三角矩陣，我們把這個結果推廣到A_n型的半典範基，描述了A_n型的PBW基與半典範基之間的轉換矩陣；建立了Auslander代數上不可分解模的投射維數與其Socle之間的聯繫，從而給出了Auslander代數的新刻畫。
