多項式自同構及單導子的結構研究

《多項式自同構及單導子的結構研究》是依託湖南師範大學，由嚴丹擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：多項式自同構及單導子的結構研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：嚴丹
• 依託單位：湖南師範大學

項目摘要

多項式自同構的結構研究是仿射代數幾何中的一個基本內容，與交換代數及仿射代數幾何中的許多重要問題密切相關。本項目的研究包括如下兩大部分：（一）利用多項式映射及 tame 自同構的理論研究多項式自同構的結構，主要包括（1）在單導子作用下保持不動的多項式自同構群的結構及有限性的研究；（2）正整數列成為三元 tame 自同構多重次數的充要條件及II型，III型 tame 自同構存在性的研究。（二）利用多項式導子的理論研究多項式環上單導子的結構及性質，同時結合多項式自同構的結構研究，對雅克比猜想的導子形式進一步探究。

結題摘要

本項目的主要目的是研究在單導子作用下保持不動的多項式自同構群的結構及多項式導子的研究。同時研究多項式映射的結構及二維雅克比猜想的推廣問題。 研究得到的結論：在某些情形下證明了與單導子交換的多項式自同構群是平凡的。同時對於維數n＞2的情形給出例子說明與某些單導子交換的多項式自同構群可以是無限群。實際上，我們證明了在某些條件下與單導子交換的多項式自同構群是 {x+c}，即由平移自同構組成的。其次，我們對一些多項式映射進行了分類：對雅克比矩陣冪零的且形如H=(H_1(x_1,x_2,...,x_n),H_2(x_1,x_2),...,H_n(x_1,x_2,H_1))的n元多項式映射進行了分類並對雅克比矩陣秩小於等於2的齊三次多項式映射進行了分類。同時給出形如D=y∂_x+(a_2 y^2+a_1 (x)y+a_0 (x))∂_y的導子是單的充要條件，並對二維雅克比猜想的推廣問題給出反例。