基本介紹
- 中文名：概形論術語
- 定義：代數幾何中概形的簡介
點,纖維,概形之性質,態射之性質,與拓撲結構相關的概念,開浸入與閉浸入,仿射態射與射影態射,分離態射與真態射,有限型、擬有限與有限態射,平坦態射,非分歧態射與平展態射,平滑態射,
點
一個概形是一個局部賦環空間，故也是拓撲空間，但“的點”具有三重涵義：
- 拓撲空間意義下的點。
- -值點：對任一概形，一個-值點是指一個態射。
幾何點是古典問題的主角，例如對復代數簇而言，通常說“點”即指幾何點。拓撲空間的點包括一般點的類比（相對於扎里斯基而非韋伊的理論）。藉由米田引理，考慮所有的概形與所有-值點，可以將概形理解為相應的可表函子，此觀念是代數幾何發展史上的一大步。
纖維
在格羅滕迪克的相對幾何框架下，一態射的纖維有三重涵義：
- 一個點（拓撲意義下）的逆像。
- 兩個態射的纖維積：對於仿射概形，纖維積對應到環的張量積。
- 幾何纖維：設為-概形（為域），為一-態射，為一幾何點，則點的幾何纖維定義為相應的纖維積。
概形之性質
概形的大部分性質都是“局部的”，換言之：具有性質甲，若且唯若對其任一開覆蓋，每個皆具性質甲；而通常只要對一組開覆蓋驗證即可。這類性質有時也被稱為“扎里斯基局部”的，藉以區別對於其他格羅滕迪克拓撲的情形（如平展拓撲）。
舉例明之，局部諾特概形是能由諾特環的交換環譜覆蓋的概形。由於諾特環的局部化仍為諾特環，局部諾特性確實是上述意義下的局部性質。另一個例子是既約概形，這也是局部性質，因為若一個交換環無冪零元，則其局部化亦然。
分離概形並非局部性質：任何仿射概形都是分離概形，因此任何概形都是“局部分離”的，然而存在非分離的概形。
以下是環的局部性質列表（不全），由此可定義概形的相應性質。以下令為一概形之開覆蓋。
態射之性質
格羅滕迪克的基本理念之一是強調“相對”性，亦即置重點於態射的性質。概形範疇有一終對象，所以任何概形可以唯一地理解為-概形，藉此可以從態射性質定義概形本身的性質。
以下令
為概形間的態射。一如既往，以下的性質也是局部的，即：若存在開覆蓋使得在上的限制帶有該性質，則本身也帶該性質。
與拓撲結構相關的概念
若一個態射在拓撲空間上是開映射，則稱此態射為開態射；閉態射的定義類似。平坦態射皆為開態射。
若在中稠密，則稱此態射為優勢態射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。對於仿射概形，優勢態射對應到環的單射同態。
開浸入與閉浸入
- 開浸入：若同構於一個開子概形的包含映射，則稱之為開浸入。
- 閉浸入：若同構於一個閉子概形的包含映射，則稱之為閉浸入。閉浸入在局部上對應到環的商同態。閉浸入可以如下刻劃：是閉浸入，若且唯若在拓撲空間的意義下是個閉浸入（是同胚，且是中的閉集），而且是滿射。
- 浸入：閉浸入與開浸入的合成。
開浸入僅關乎拓撲，而閉浸入則與結構層有關。概形的閉子集可以帶有多種閉子概形結構，其中存在一個始對象，使得其結構層不含冪零元，稱為該閉子集對應的既約子概形。
仿射態射與射影態射
若的仿射開子概形對的逆像仍為仿射概形，則稱為仿射態射。用較炫的說法：仿射態射系來自-代數的整體構造，這是整體版本的交換環譜。例子包括向量叢。
射影態射的定義類似，此時對應到分次-代數的整體構造，另一種等價的刻劃是：是射影態射，若且唯若它可分解為閉浸入及自然投影。
分離態射與真態射
主條目：分離態射
主條目：真態射
- 分離態射：使得對角態射為閉浸入的態射，此概念對應到拓撲學中的豪斯多夫空間。
- 真態射：即滿足下列性質的態射
- 分離態射
- 泛閉（即：任一閉浸入在對取纖維積後仍為閉浸入）
- 有限型
有限型、擬有限與有限態射
若有一組仿射開覆蓋，使得態射對應到，使得是有限-模，則稱此態射為有限態射。
若將上述條件改為：有一組仿射開覆蓋，使得是有限生成的-代數，則稱此態射為局部有限型態射；若上述開覆蓋可取為有限的，則稱之有限型態射。代數幾何中探討的多數態射都是有限型態射。
若的纖維都是有限的，且是有限型態射，則稱之為擬有限態射。有限態射皆為擬有限態射。
平坦態射
若在結構層的莖上給出平坦同態，則稱之為平坦態射。視此態射為一族以的點為參數的概形，則平坦性可詮釋為纖維在變形下的某些良好性質，例如希爾伯特多項式的不變性。
非分歧態射與平展態射
主條目：平展態射
對一點，考慮相應的環同態：
令為的極大理想，並設
若對所有，是的極大理想，且導出的映射是有限、可分的代數擴張，則稱此態射為非分歧態射。
平滑態射
主條目：平滑態射
平滑態射對應到拓撲學中的塞爾纖維化映射，在代數幾何中有多種定義：
- 是有限型平坦態射，且是局部自由-模，其秩為。
- 可分解為某個平展態射及自然投影之合成。
- 形式判準：對任何交換環及其理想，並滿足，則是滿射。
