非一致雙曲系統稠性及相關問題研究

《非一致雙曲系統稠性及相關問題研究》是依託中央財經大學，由梁超擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非一致雙曲系統稠性及相關問題研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：梁超
• 依託單位：中央財經大學

項目摘要

十九世紀70年代，人們發現一致雙曲系統在所有動力系統中並不是稠密存在的。這一認知導致了非一致雙曲系統概念的誕生。運用Lyapunov指數概念，Pesin建立了非一致雙曲系統（即在一個全測集上Lyapunov指數均非零的系統）上的Pesin理論，告訴大家非一致雙曲系統承襲了一致雙曲系統的很多好的幾何性質，如穩定流形和不穩定流形存在性。因此，考察如何擾掉系統的零Lyapunov指數是尤為重要的。具體地說，我們欲研究非一致雙曲系統在所有C^1保體積微分同胚中是否稠密，以及其在所有C^1辛系統中是否稠密。 另一個與指數擾動相關的核心問題是，如何把系統的Lyapunov指數擾開。也就是說，做小擾動使得系統具有單譜性質，即各個指數皆為1重。這個問題的已有研究主要都是考慮線性上鏈的。因此，我們欲研究這種具有單譜性質的微分同胚在所有C^1保體積微分同胚中是否稠密。 本項目主要探討上面兩個稠密性問題。

結題摘要

目前，我們在Lyapunov指數擾動和周期軌性質兩方面都有了更深入的研究，對非一致雙曲系統在Cr保體積微分同胚與Cr辛映射中的稠性問題有了階段性的成果，對中心指數單譜的映射有了新的發現，對非一致雙曲系統上非正則周期點的性質、相關大偏差問題，以及周期軌條數的指數增長率與測度熵關係，熵映射的上半連續性等都得到了很好的結果。 對於 Lyapunov 指數的擾動、非一致雙曲系統的稠密性問題，我們得到了 Pesin 一個猜測的部分肯定結果，即在一個正測集上指數全非零的系統在全體 Cr保體積微分同胚中C1稠密。同時，我們驗證了正熵系統構成一個稠密集合。Cr辛微分同胚中結論類似。 除了雙曲性、 Lyapunov 指數，熵是另一個描述系統複雜性的指標。熵映射描述了不同變換之間熵的變化情況，即系統複雜性的變化情況。針對一類弱雙曲系統，我們研究了熵映射的上半連續性。進一步，我們觀察了支撐在這個非一致雙曲集的不變測度所相應的飽和集，證明了飽和集是非空的，稠密的。 在對保持辛結構的部分雙曲系統的研究中，我們發現非一致雙曲系統在具有 accessible、pinched、bunched 和中心叢 2 維性質的子集合內是Cr開的。而且關於 中心指數連續的映射是這個集合中的Cr開稠集。此結果適用於保體積微分同胚情形。這些結果也給Viana的一個猜測提供了合理性依據。 另外，我們考察了極小真子集與子集上的穩定流形之間的關係。我們還研究了非一致雙曲系統上非正則周期點的性質，並驗證了這些周期點上的一個開的大偏差性質。我們也證明了逼近給定不變測度的原子測度所支撐的周期點，其指數增長率恰好等於這個不變測度對應的測度熵。