動力系統中熱力學形式和維數理論的交叉研究

《動力系統中熱力學形式和維數理論的交叉研究》是依託南京師範大學，由陳二才擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：動力系統中熱力學形式和維數理論的交叉研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：陳二才
• 依託單位：南京師範大學

項目摘要

混沌和分形是二十世紀人們在自然科學中發現的普遍而深刻的自然現象，已成為動力系統複雜性態研究中的兩個重要內容。動力系統中的維數理論是在人們發現奇異吸引子之後，產生的動力系統的又一重要研究方向。著名的動力學家Sinai, Ruelle和Bowen將平衡態統計物理引入到動力系統，建立了動力系統中的熱力學形式的數學理論，已成為動力系統維數理論研究的重要工具。當今維數理論的發展，對熱力學形式的研究提出了新的要求。本項目是對動力系統的熱力學形式和維數理論交叉研究。 運用維數的思想研究動力系統中的的非緊熱力學形式的數學理論，並注重其在重分形分析和混沌研究中的套用, 例如：Packing維數的Bowen方程，分布混沌集合的Packing維數等問題。進一步我們將用非緊的熱力學形式理論和重分形分析的方法研究混沌的尺度問題。本項目研究將有助於人們對混沌動力系統的幾何結構的複雜性和動力性態的複雜性的認識。

結題摘要

項目期間，項目成員發表論文14篇，已接受2篇，完成論文8篇。 1）在動力系統的熱力學形式理論方面，我們對於拓撲動力系統定義了誘導拓撲壓，並建立變分原理；研究了幾乎乘積條件下的Birkhoff 平均的historic集的重分形分析，得到了廣義水平集的Pesin 非緊拓撲壓的條件變分原理，並回答了Olsen等人在2003年提出的一個公開問題；研究具有非一致Specification性質的拓撲動力系統的 Birkhoff 平均的重分形分析，到Pesin 非緊拓撲壓的條件變分不等式，套用於Viana 映射等非一致動力系統。 2）在動力系統的拓撲熵理論方面，研究了Bowen 非緊拓撲熵的乘積性質，給出了Packing熵的變分關係；研究了amenble群作用動力系統的 Bowen 非緊拓撲熵，對於某些tempered Folner 序列，得到了相應Brin—Katok局部熵引理。證明了 Bowen 非緊拓撲熵的變分原理，得到了對於整個空間，其 Bowen 非緊拓撲熵與經典拓撲熵相等。證明了對於遍歷測度，其通有點集合的非緊拓撲等於其測度熵；對於加權Bowen 非緊拓撲熵，我們也得到了類似結果。另外，證明了amenble群作用動力系統的大變差定理。 3）研究非一致雙曲系統的重分形分析，用純拓撲的方式定義了Weak Shadowing Property。研究了遍歷測度在Pesin集或雙曲集鄰域上的支撐的重分形分析，得到了Birkhoff平均水平集與發散點集的條件變分原理以及大變差定理。對於具有非一致結構的符號動力系統我們建立了飽和集合的條件變分原理。 4）在保測系統中引入了測度熵維數的概念來研究零熵系統的測度複雜性，證明了相應的Furstenberg不交性定理。證明了存在無理旋轉數使得對應的確定性隨機遊走模型具有給定的熵維數。 5）研究了隨機動力系統中拓撲相對tail熵。建立了隨機叢動力系統拓撲相對tail熵的變分原理；研究了隨機動力系統中的平均拓撲維數理論。 給出了叢隨機變換的平均拓撲維數定義，證明了叢隨機動力系統中有限拓撲熵和小邊界性均蘊含零平均拓撲維數。 項目期間培養博士研究生4名、碩士研究生11名。在讀碩士研究生4名。在讀博士研究生3名，博士後1名。