雙曲守恆律及相關問題高精度數值方法研究

《雙曲守恆律及相關問題高精度數值方法研究》是依託廈門大學，由邱建賢擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：雙曲守恆律及相關問題高精度數值方法研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：邱建賢
• 依託單位：廈門大學

項目摘要

計算流體力學在國防事業和國民經濟中有著極其重要的套用，流體力學數值方法是計算流體力學的核心部分。雙曲守恆律及相關問題是流體力學中的重要方程，由於實際問題的需要，數值計算的要求變得越來越高，不僅計算規模日益膨脹，而且計算精度也要不斷提高。為滿足這種實際計算的最新需求，本項目將致力於發展非線性雙曲守恆律及相關問題高精度數值方法，重點發展求解初值問題的埃米特加權本質無振盪高精度方法以及高精度的殘量分布方法；針對非線性高精度數值方法的理論研究成果稀缺，開展埃米特加權本質無振盪方法，高精度的殘量分布方法的穩定性、收斂性等方面的理論研究。

結題摘要

在求解非線性雙曲守恆律及相關問題高精度數值方法構造與理論研究方面等開展了卓有成效的工作, 在高精度加權本質無振盪（WENO）型算法構造和套用方面、間斷Galerkin（DG）有限元方法的算法研究和套用取得了一些重要的研究成果。構造一類二維和三維非結構格線的簡便、高效有限體積WENO方法，該方法的主要特點是線性權與格線的幾何拓撲無關，可以隨意設定一組和為一的正數作為線性權，不再需要具體計算最優的線性權值即可在解的光滑區域保證格式的高精度，在解的非光滑區域保持基本無振盪的特性。由於不需計算線性權，該方法在非結構格線的情況下，比經典的WENO格式更加高效、簡便，更適合於實際工程套用。提出了一類求解雙曲守恆律的高階中心HWENO數值格式，該類格式為基於交錯格線的中心有限體積格式，並使用HWENO重構作為空間離散。構造了基於維數分裂的守恆型半拉格朗日HWENO格式求解動理學Vlasov-Poisson方程組。將LDG與HWENO相結合，構造了一類具有LDG和HWENO格式的優點的求解KdV型方程的格式。將簡便、高效的WENO方法與RD方法有機地結合起來，構造了求解定常問題的雙曲守恆律，該方法具有可採用任意線性權、殘量分配簡便的優點。關於半隱半顯時間離散的LDG方法，我們解決了各種數值實現的困難，並克服了非線性擴散係數，非周期邊界條件，高維和廣義交錯通量帶來的理論分析困難。關於顯式RKDG方法，我們系統地解決了全離散格式的L2模穩定性問題。利用矩陣分析技巧，我們可以藉助停機指標和貢獻指標，指出RKDG格式的不同穩定性表現。在上述工作的基礎上，我們將DG方法套用於Sobolev方程、不可壓混溶驅替問題和不可壓Navier-Stokes方程，並取得滿意的理論結果。首次將移動格線DG方法套用於求解雙曲守恆律和輻射輸運問題，與其它的移動格線方法相比，該方法不需要進行守恆型插值，數值解效果更好，解析度高，可以有效的捕捉到間斷。 發表論文33篇，培養了1名博士後、4名博士和4名碩士。