《Hamilton-Jacobi方程的高精度非結構格線數值方法》是依託中國人民解放軍國防科技大學，由唐玲艷擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Hamilton-Jacobi方程的高精度非結構格線數值方法
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：唐玲艷
- 依託單位：中國人民解放軍國防科技大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
Hamilton-Jacobi方程源於最優控制理論、微分幾何、物理學、流體力學等領域，由於使用該方程解決實際問題時，所面臨的區域一般比較複雜，界面常常會出現紐結、融入與分離等現象，因此研究其非結構格線數值方法具有重要的理論意義與廣泛的套用前景。本項目研究Hamilton-Jacobi方程的高精度非結構格線數值方法，重點討論基於局部緊緻基函式的高精度多項式重構、非結構格線上單調數值Hamilton函式的構造，並運用插值模板的簡化選擇、格線自適應加密和並行計算等技術來提高計算效率。本項目的研究有助於豐富Hamilton-Jacobi方程非結構格線方法的理論和實際計算效果，為科學和工程計算提供一定的基礎性工作。
結題摘要
非結構格線沒有格線節點的結構性限制，易於控制格線單元的大小、形狀及格線點位置，具有很強的靈活性，是數值模擬複雜外形問題的有力工具。本項目研究非結構格線的生成、非結構格線上雙曲型方程（特別是Hamilton-Jacobi方程）的高精度離散方法和基於非結構格線的自適應計算。通過三年的研究，主要取得以下進展： 1、在非結構格線生成方面，詳細分析、比較了各類二維Delaunay格線生成過程的約束邊恢復步驟，指出它們本質上屬於邊翻轉技術。提出平面掃描算法與相應的數據結構，使進行相交測試的次數減少到實際交點的2倍以內，並且在一次掃描後恢復所有約束邊。該算法避開了不必要的相交測試，提高了格線生成的速度和效率。 2、在高精度非結構格線方法的構造方面：（1）對現有的高解析度格式進行調研，特別討論了雙曲型守恆律方程的有限體積型WENO方法和DG方法，從精度、計算速度和對奇異的解析度等方面進行比較，得到了一些有用的結論；（2）利用嵌套三角形格線上數值解的小波分解信息選擇TVD限制器，構造出求解雙曲型守恆律方程的一類滿足局部極值原理的自適應多分辨格式；（3）考慮標量雙曲型守恆律方程，採用時空分離的方法，對三維非結構四面體格線給出了一類滿足局部極值原理的三階精度有限體積格式；（4）研究一類特殊的Hamilton-Jacobi方程——符號距離函式重新初始化方程的非結構格線算法，給出運動界面附近的一種局部修正方法，並結合單側ENO插值將其推廣到二階精度。 3、在多分辨方法與自適應計算方面，（1）針對雙曲型守恆律方程解的特點，藉助嵌套格線上數值解的離散多分辨分析，發展了一種有效的求解雙曲型守恆律方程（組）自適應多分辨分析方法。該方法在保持原規則格線方法的精度和解析度的同時，顯著地減少計算所需要的CPU時間。（2）將上述自適應多分辨分析方法推廣運動界面追蹤問題，基於嵌套格線上數值解的插值誤差構造了一種簡單易行的多尺度水平集方法。 4、在辛幾何算法和其它方面，（1）構造了非線性Schrodinger方程、Cammassa-Holm方程的辛與多辛小波配點格式，並通過理論分析和數值實驗驗證了格式的高精度，奇異捕捉能力以及對不變數的保持特性；（2）構造了強耦合Schrodinger方程的多辛分裂小波配點格式；（3）構造了Zakharov-Kuznetsov方程的顯式保結構算法，有效地降低了代數系統的計算複雜度。
