《高階元有限體積法的穩定性和超收斂性研究》是依託吉林大學，由李永海擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：高階元有限體積法的穩定性和超收斂性研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李永海
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
有限體積法的研究已經取得了十分豐富的研究成果，但是對於三角形格線上高階元有限體積法的超收斂性分析，以及四邊形格線上有限體積法穩定性的一致判別框架還沒有解決。 本項目以二階橢圓型方程為模型，研究三角形格線上高階元有限體積法的超收斂性和四邊形格線上有限體積法穩定性的一致判別準則。首先，我們研究三角形格線上Lagrange二次元、三次元，及Hermite三次元有限體積法的超收斂性，對以上有限體積格式解的相應的函式值或導數值的超收斂性給出理論證明；然後，建立四邊形格線上的有限體積法穩定性（雙線性形式正定性或橢圓性）判別的一致框架和準則，給出儘可能弱的（最好是充分必要的）格線幾何條件。為此，需要給出有限體積法單元剛度矩陣的統一表達形式，進而系統地討論為保持雙線性形式的一致局部橢圓性所需要的對四邊形單元的限制條件。
結題摘要
本項目主要以橢圓形方程為模型，研究了有限體積法相關的某些數值分析問題。另外，我們還研究了Hamilton-Jacobi方程及輻射三溫能量方程組的有限體積法。第一，以橢圓形方程為模型，給出了三角形格線上Lagrange型任意k次元有限體積法的L2誤差估計的一致框架。我們首次提出了一組正交條件，該正交條件是保證最佳L2收斂階的充分條件。另外，針對Lagrange型二次元有限體積法，選取正交條件所決定的最佳對偶剖分，我們證明了有限體積法解u_h與精確解u到試探空間的插值u_I的按H^1模與L^2模超收斂性。第二，以橢圓形方程為模型，我們構造並證明了一般四邊形格線上等參雙三次元有限體積法的穩定性及H^1誤差估計。此外，我們還研究了非匹配矩形格線上自適應雙線性元有限體積法的後驗誤差估計。第三，以橢圓形方程為模型，我們研究了非匹配三角形格線上的混合有限體積法，並證明了近似速度函式和近似壓力函式均具有最佳的L^2模收斂階。第四，以具有弱Dirichlet邊界條件的Hamilton-Jacobi方程為模型，我們構造了一類新的單調有限體積格式，證明了它的收斂階是1/2階。第五，我們研究了輻射三溫能量方程組的有限體積法，空間離散使用三角形網上線性元，時間方向使用向後Euler格式，並與自適應技術結合，有效地模擬了該方程組。
