《Hamilton-Jacobi方程粘性解奇點動力學及其套用》是依託南京大學，由程偉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Hamilton-Jacobi方程粘性解奇點動力學及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：程偉
- 依託單位：南京大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
我們主要研究Hamitlon-Jacobi方程粘性解的奇點動力學，以及它在Mather理論及弱KAM理論中的套用，並以此解決Hamilton動力學的一些重要問題。在大於Mane臨界值的能量面上，弱KAM不存在孤立奇點。奇點的動力學及其穩定性與Aubry類的拓撲結構、共軛點的產生與消失，粘性解以及障礙函式的正則性，局部極小軌道的構造有著密切的聯繫。這一領域目前來看是嶄新的，是最優控制理論與Hamilton動力學的一些深刻問題的有機結合。我們擬解決以下問題：建立半凹函式的奇點傳播的解析理論，解決粘性解奇點動力學的穩定性問題，建立奇點集拓撲結構與Aubry類的關係，給出奇點傳播起點與終點與系統共軛點之間的關係，研究奇點與Lax-Oleinik半群收斂性之間的關係等。藉此研究，我們還希望解決測地流系統的剛性，α函式可微性，局部極小不變集的存在性等問題。
結題摘要
本項目主要研究課題是Hamilton-Jacobi方程的粘性解的奇性動力學。Hamilton-Jacobi方程的粘性解的奇性源於相應Hamilton方程決定的特徵線的碰撞與聚焦。從變分角度來看，奇性的產生源於極小性的喪失，它與系統動力學複雜性密切相關。從動力系統角度研究該問題是一個比較新穎的領域，藉助廣義特徵線的微分包含，我們在關於粘性解與障礙函式的奇性傳播取得一系列成果。 我們解決了關於在一定能量條件下弱KAM解和Mather障礙函式的局部傳播性；利用非光滑臨界點理論，建立了Mather障礙函式臨界點與Aubry集以及不同Aubry類的同宿軌和連線軌道的直接聯繫；利用正向Lax-Oleinik運算元給出了奇性傳播的內蘊解釋並證明了奇性沿廣義特徵線傳播的全局結果；揭示出廣義特徵線與Lasry-Lions正則化之間的關係；利用奇性傳播的全局結果證明了割跡和奇點集的局部可縮性以及其與Aubry集補集的同倫等價性。還有很多後續工作正在整理，撰寫相關論文。並且，人們已可預見這些工作的巨大潛力。 上述工作已經分別發表於Comm. Math. Phys., Nonlinearity, Science China Math.和Comptes Rendus Mathematique，另一些正在審稿。
