《Hamilton-Jacobi方程的廣義特徵線的研究》是依託南京航空航天大學，由張琦擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Hamilton-Jacobi方程的廣義特徵線的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張琦
- 依託單位：南京航空航天大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
我們主要研究Hamitlon-Jacobi 方程粘性解的奇點動力學，以及它在Mather理論及弱KAM 理論中的套用。在大於Mane 臨界值的能量面上，弱KAM 不存在孤立奇點。奇點的動力學及其穩定性與Aubry 類的拓撲結構、共軛點的產生與消失，粘性解以及障礙函式的正則性，局部極小軌道的構造有著密切的聯繫。我們利用最優控制理論與Hamilton 動力學相結合的方法，擬解決以下問題：1、找出Hamilton-Jacobi 方程粘性解奇點沿廣義特徵線的傳播條件；2、研究奇點傳播與障礙函式關於上同調類具備某種正則性的關係；3、給出帶控制項的 Hamilton-Jacobi 方程粘性解的變分結構。
結題摘要
Hamilton 系統是動力系統理論重要的研究領域之一，具有豐富的內涵，Hamilton 系統的動力學穩定性問題是一個古老而未能完全解決的問題，粗略地講, 大多數近可積系統的大部分運動在動力學意義下是穩定的（根據 KAM 理論），同時，不穩定的軌道在相空間內有可能稠密（Arnold 擴散）。上個世紀90年代，由 J. Mather 開創的高維正定 Lagrangian 系統的極小變分方法，導致正定系統的 Arnold 擴散的研究取得了突破性的進展。用變分的觀點研究 Hamilton 系統的動力學不穩定性有其優勢。這時可以從考慮Lagrange 系統入手。正定 Hamilton 系統的研究與正定 Lagrange 系統的研究等價。90年代後期，Fathi 等發展了關於Hamilton-Jacobi 方程的弱KAM理論。弱KAM理論作為橋樑溝通了 Mather 理論和 Hamilton-Jacobi 方程粘性解的聯繫，後者自上世紀60-70 年代發展起來，在PDE、最優控制等領域得到了巨大發展。同時也為Arnold擴散提供了新的方法，為 Hamilton 系統的不穩定性研究開闢了新的道路。程偉等人利用Hamilton-Jacobi方程粘性解的半凹性理論等，給出了力學系統不穩定性的一些結果。 我們的研究主要圍繞以下問題展開：一、Hamilton-Jacobi 方程粘性解的奇點傳播條件；二、與Hamilton系統有很大關係的雙曲守恆律的解的形態；三、Hamilton-Jacobi 方程粘性解的奇點傳播與Hmailton 系統不穩定性之間的關係；四、關於局部極小不變集的研究。 得到了一類系統的奇點傳播條件，研究了Hamilton-Jacobi方程與雙曲守恆律之間的聯繫。
