《Mather理論與Hamilton-Jacobi方程的粘性解》是依託南京大學，由程偉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Mather理論與Hamilton-Jacobi方程的粘性解
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：程偉
- 依託單位：南京大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
我們的研究課題主要是關於Hamilton系統的變分研究，即Mather-Ma?é理論以及Hamilton-Jacobi方程的粘性解理論，它們對於研究Hamilton系統動力學上的穩定性與不穩定性都極為重要。我們主要的研究目標是關於Hamilton-Jacobi方程粘性解的正則性，以及它與Hamilton動力系統的擴散軌道、各類極小不變集的動力學行為的密切關係。我們主要將利用變分方法，結合PDE，最佳化等方面的工具，給出粘性解關於平均作用量c的正則性的較為精細的刻畫。進而探討這些結果在Hamilton動力學上的已經可以看到的諸多套用。這是一種比較新穎的處理方法，我們將研究頻率h的算術性質與粘性解的正則性之間的關係，一些先前的結果使得我們看到這一問題解決的希望。
結題摘要
本項目主要的研究計畫圍繞Hamilton動力學中的Mather理論及弱KAM理論展開，研究正定Hamilton動力系統的各種變分意義下極小軌道的動力學性質。我們主要從以下幾個方面進行了研究。 一，我們研究了正定Hamilton系統的可積性的變分刻畫，也就是說系統的α函式的正則性與系統的正則性（即可積性）之間的聯繫。我們證明了對於一般的力學系統，只要勢能函式具有Morse非退化性（比如解析），則α函式的光滑性與嚴格凸性蘊含了系統的可積性，並且進一步建立了系統的α函式的極大點集的拓撲結構與系統可積性之間的關係。從而部分解決了這一“剛性”問題，這個問題對於Hamilton系統以及Riemann幾何都是及其深刻的問題。 二、我們利用Hamilton-Jacobi方程的粘性解證明了高維情形Birkhoff不變曲線定理的一個部分推廣，並且，給出了扭轉映射情形Birkhoff不變曲線破裂的變分描述。我們還給出了Mather的變分原理（或弱KAM理論）與Jacobi-Finsler幾何的關係，可以將其看成廣義的Maupertuis原理。 三、對於弱KAM解，我們研究了退化不動點情形Lax-Oleinik半群的收斂速度的精確估計，以及時間周期正定Lagrange系統的半群的收斂性。並給出了一類由系統動力學決定的新的Lax-Oleinik半群，證明了它的收斂性問題。 本課題的研究是按照項目計畫書執行的，取得了許多這一領域的重要進展。
