《Hamilton 系統中的連線軌道》是依託蘇州科技大學，由李霞擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Hamilton 系統中的連線軌道
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李霞
- 依託單位：蘇州科技大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
動力學穩定性問題一直是動力系統研究的中心問題之一。用變分理論研究正定高維Lagrangian系統中的不穩定問題是其中重要且極具前途的方法之一。核心問題在於連線軌道的構造，其構造基於兩種，一種稱為異宿軌連線，一種稱為c-等價連線。其中一些重要的問題尚未得到完滿的解決，如在通有的情況下障礙函式關於上同調類的正則性以及對於共振向量，Aubry集的相對同調群的非平凡性。為此，我們將主要用變分法，結合弱KAM理論，半凹函式理論以及維數理論等就這些問題展開研究。此外，通過深入探討 -函式平台和極小同宿軌之間的關係，我們也考慮在某種通有條件的保證下，將異宿軌道的連線納入c-等價連線，從而為gap problem的解決提供另一種方法。而在 -函式平台的拓撲結構與Hamilton系統的不穩定性研究中，我們也能期待一些深刻的結果。
結題摘要
在本項目中，我做的主要工作工作如下： 一.研究了先驗穩定情形下多個自由度（大於或等於3）自治正定Hamilton系統中擴散軌道的通有存在性，而以往關於擴散軌道的工作大多集中於先驗雙曲情形。我們通過KAM疊代尋求適當的規範型，並驗證了通有擾動下大量長度量級為1的法向雙曲不變柱面的存在性，藉助法向雙曲不變柱面的結構，我們驗證了通有擾動下的廣義轉移鏈的存在性，從而可用變分法得到所需結論。相關論文已投稿。 二.弱KAM理論通過研究作用量極小曲線的動力學行為，在Mather理論及傳統研究Hamilton-jacobi方程所採用的PDE方法中建立起來橋樑，在這方面， 我做的工作如下： 1.研究了多自由度下時間1-周期Lagrange系統中Mather集的動力學性質（旋轉向量）和Lax-Oleinik半群的收斂性之間的關係，其中Lax-Oleinik半群的收斂性 在弱KAM理論中起著核心作用。這主要是通過建立Mather集旋轉向量與相應的alpha-函式平台維數之間的關係得到的。在一般的情形下，由於Mather集在高維Lagrange系統里的複雜性，在時間周期系統里，我們得不到Lax-Oleinik半群的收斂性。因此，我們找到了其特殊子列的收斂性，並且說明了這樣的收斂是非平凡的。我們證明了該特殊子列收斂的極限是相應的Hamilton-Jacobi方程的時間周期粘性解。該子列的選取依賴於構形空間上的點，我們舉例說明了一個不依賴於點的收斂子列收斂到非時間周期的粘性解。相關論文已發表。 2.研究了弱KAM理論在Hamilton_Jacobi方程中的套用及最新進展。該論文已接收。
